Задание 20 ЕГЭ по математике №00043836

Обозначим числа $x$, $y$, $z$, а сумму цифр числа $n$ — через $S(n)$. По условию $y=2S(x)$, $z=3S(y)$.

Пункт а. Возьмём $x=1973$. Сумма цифр $1+9+7+3=20$, поэтому $y=40$. Сумма цифр $40$ равна $4$, поэтому $z=12$. Сумма $1973+40+12=2025$, числа различны: да.

Пункт б. Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на $3$. Поэтому $y=2S(x)$ имеет тот же остаток, что и $2x$, а $z=3S(y)$ делится на $3$.

Значит, $x+y+z$ даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и $x+2x+0=3x$, то есть делится на $3$.

Но $2026=3\cdot 675+1$ на $3$ не делится. Значит, нет.

Пункт в. Пойдём по цепочке с конца. Если $z=12$, то $S(y)=4$.

Число $y=2S(x)$ чётное. У четырёхзначного $x$ сумма цифр от $1$ до $36$, поэтому $y\le 72$. Чётные числа до $72$ с суммой цифр $4$: $4$, $22$, $40$. Значит, $S(x)=2$, $11$ или $20$.

Числа $x$, $y$, $z$ при этом различны: $x$ четырёхзначное, а $y\ne 12$. Остаётся посчитать четырёхзначные числа с суммой цифр $2$, $11$ и $20$.

Как считать. Пусть цифры $a,b,c,d$, $a\ge 1$. Заменим $a'=a-1$, тогда все четыре цифры от $0$ до $9$ (а $a'\le 8$), и сумма $a'+b+c+d$ на единицу меньше суммы цифр.

Число способов разложить число $m$ в сумму четырёх неотрицательных целых слагаемых (с учётом порядка) равно $\mathrm{C}_{m+3}^{3}$: это способ расставить $3$ перегородки среди $m$ единиц. Потом вычитаем раскладки, где какое-то слагаемое слишком большое.

Сумма цифр 2. Таких чисел $4$: $1001$, $1010$, $1100$, $2000$.

Сумма цифр 11. Нужно $a'+b+c+d=10$: $\mathrm{C}_{13}^{3}=286$ раскладок. Лишние: $a'\ge 9$ — остаток $1$ раскладывается $\mathrm{C}_{4}^{3}=4$ способами; $b\ge 10$ (или $c$, или $d$) — по $1$ способу, всего $3$. Итого $286-4-3=279$.

Сумма цифр 20. Нужно $a'+b+c+d=19$: $\mathrm{C}_{22}^{3}=1540$. Лишние: $a'\ge 9$ — остаток $10$, это $\mathrm{C}_{13}^{3}=286$; $b\ge 10$ — остаток $9$, $\mathrm{C}_{12}^{3}=220$, и столько же для $c$ и $d$, всего $660$. Два «перебора» сразу: $a'\ge 9$ и $b\ge 10$ — остаток $0$, $1$ способ, и так для $c$, $d$ — всего $3$; две цифры из $b,c,d$ не меньше $10$ — сумма уже больше $19$, невозможно. По формуле включений-исключений: $1540-286-660+3=597$.

Всего $4+279+597=880$ чисел.