Задание 20 ЕГЭ по математике №00043833

Упорядочим числа набора по возрастанию: $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_{60}$. Условие «сумма любых двух больше суммы любых шести» достаточно проверить в самом трудном случае: взять два самых маленьких числа и шесть самых больших. Если

$$a_1+a_2\gt a_{55}+a_{56}+a_{57}+a_{58}+a_{59}+a_{60},$$

то для любых других двух чисел левая часть только больше, а для любых других шести правая только меньше. Итак, это неравенство и есть всё условие.

Пункт а. Возьмём $60$ подряд идущих целых чисел от $-400$ до $-341$. Два наименьших дают $-400+(-399)=-799$. Шесть наибольших: $-346-345-344-343-342-341=-2061$. Так как $-799\gt -2061$, условие выполнено, и число $-400$ в наборе есть: да.

Пункт б. Попробуем сделать одно большое положительное число, а остальные — сильно отрицательными. Возьмём числа от $-228$ до $-170$ (это $59$ чисел) и число $400$.

Два наименьших: $-228+(-227)=-455$. Шесть наибольших: $-174-173-172-171-170+400=-860+400=-460$. Так как $-455\gt -460$, условие выполнено: да.

Пункт в. Обозначим $u=a_{55}$ — наименьшее из шести наибольших чисел. Все числа целые и различные, поэтому:

— шесть наибольших не меньше $u,\ u+1,\ldots,u+5$, значит, их сумма $B\ge 6u+15$;

— числа $a_3,\ldots,a_{54}$ (их $52$) меньше $u$ и различны, поэтому их сумма не больше $(u-1)+(u-2)+\ldots+(u-52)=52u-1378$;

— $a_2\le u-53$ и $a_1\le u-54$, значит, $a_1+a_2\le 2u-107$.

По условию $B\lt a_1+a_2$, а все суммы целые, поэтому $B\le a_1+a_2-1\le 2u-108$.

Сравним с оценкой снизу: $6u+15\le B\le 2u-108$, откуда $4u\le -123$ и $u\le -31$.

Теперь оценим сумму всех чисел:

$$a_1+a_2+(a_3+\ldots+a_{54})+B\le(2u-107)+(52u-1378)+(2u-108)=56u-1593.$$

При $u\le -31$ это не больше $56\cdot(-31)-1593=-1736-1593=-3329$.

Пример. Возьмём $u=-31$ и сделаем все оценки равенствами: $a_1=-85$, $a_2=-84$, затем подряд числа от $-83$ до $-32$, затем $-31,-30,-29,-28,-27$ и последнее $-25$.

Проверка условия: $a_1+a_2=-169$, а шесть наибольших дают $-31-30-29-28-27-25=-170\lt -169$. Все $60$ чисел различны.

Сумма: $-169+(-170)$ плюс сумма чисел от $-83$ до $-32$. Этих чисел $52$, их среднее $\dfrac{-83-32}{2}=-57{,}5$, сумма $52\cdot(-57{,}5)=-2990$. Итого $-169-170-2990=-3329$.

Значит, наибольшая сумма равна $-3329$.