Задание 20 ЕГЭ по математике №00043832

Пусть в большом кляссере $L$ ячеек, в маленьком $S$, а монет $N$. По условию $161\le L\le 169$ и $101\le S\le 119$.

Монеты занимают все ячейки $k$ больших кляссеров, кроме $7$ пустых, поэтому $N=kL-7$. Для маленьких кляссеров $N=(k+3)S-7$. Приравняв, получаем

$$kL=(k+3)S.$$

Словами: в $k$ больших кляссерах столько же ячеек, сколько в $k+3$ маленьких.

Пункт а. При $k=4$ равенство становится $4L=7S$, откуда $L=\dfrac{7S}{4}$. Так как $S\ge 101$, получаем $L\ge\dfrac{707}{4}\gt 176$, а по условию $L\le 169$. Противоречие, значит, нет.

Какие $k$ возможны. Из $kL=kS+3S$ следует $k(L-S)=3S$, то есть $k=\dfrac{3S}{L-S}$.

Здесь $3S$ от $303$ до $357$, а $L-S$ от $161-119=42$ до $169-101=68$. Поэтому

$$\dfrac{303}{68}\le k\le\dfrac{357}{42},\qquad 4{,}4\lt k\lt 8{,}5,$$

и $k$ может быть только $5$, $6$, $7$ или $8$.

Пункт б. Если $k\ge 6$, то $N=kL-7\ge 6\cdot 161-7=959$.

Если $k=5$, то $5L=8S$. Значит, $L$ делится на $8$, а $S$ — на $5$: $L=8t$, $S=5t$. Между $161$ и $169$ кратно восьми только $168$, тогда $t=21$, $S=105$ — подходит. Монет $N=5\cdot 168-7=833$.

Так как $833\lt 959$, наименьшее число монет — $833$.

Пункт в. Разберём большие $k$ по очереди.

$k=8$: $8L=11S$, значит, $L$ кратно $11$. В промежутке $161\ldots169$ это только $165$, но тогда $S=\dfrac{8\cdot 165}{11}=120$, а нужно $S\le 119$. Не подходит.

$k=7$: $7L=10S$, значит, $L$ кратно $10$. Между $161$ и $169$ таких чисел нет. Не подходит.

$k=6$: $6L=9S$, то есть $2L=3S$. Тогда $L$ кратно $3$, а $S=\dfrac{2L}{3}$. Наибольшее подходящее $L=168$, при нём $S=112$ — в промежутке. Монет $N=6\cdot 168-7=1001$.

При $k=5$ монет не больше $5\cdot 169-7=838$, это меньше $1001$. Значит, наибольшее число монет — $1001$.

Проверим себя: $1008=6\cdot 168=9\cdot 112$, и в обоих случаях остаётся по $7$ пустых ячеек.