Задание 20 ЕГЭ по математике №00043831

Обозначим через $L$ число ячеек в большом кляссере, через $S$ — в маленьком, через $N$ — число монет. По условию $151\le L\le 159$ и $101\le S\le 119$.

Если монеты разложить в $k$ больших кляссеров и в одном из них останется $5$ пустых ячеек, то монет на $5$ меньше, чем ячеек во всех кляссерах: $N=kL-5$. Точно так же для маленьких: $N=(k+2)S-5$.

Приравняем и уберём пятёрку с обеих сторон:

$$kL=(k+2)S.$$

Это главное равенство задачи: число ячеек в $k$ больших кляссерах равно числу ячеек в $k+2$ маленьких.

Пункт а. Пусть $k=3$. Тогда $3L=5S$. Слева число делится на $3$, значит, и $5S$ делится на $3$, то есть $S$ кратно $3$. Выразим $L=\dfrac{5S}{3}$. Так как $S\ge 101$, получаем $L\ge\dfrac{505}{3}\gt 168$. Но $L\le 159$ — противоречие. Значит, $k$ не может быть равно $3$: нет.

Оценим $k$ в общем случае. Раскроем скобки в главном равенстве: $kL=kS+2S$, то есть

$$k(L-S)=2S.$$

Разность $L-S$ не меньше $151-119=32$ и не больше $159-101=58$, а $2S$ — от $202$ до $238$. Поэтому

$$k=\dfrac{2S}{L-S}\le\dfrac{238}{32}\lt 7{,}5,\qquad k\ge\dfrac{202}{58}\gt 3{,}4.$$

Значит, $k$ может быть только $4$, $5$, $6$ или $7$.

Пункт б. Число монет $N=kL-5$. Если $k\ge 5$, то $N\ge 5\cdot 151-5=750$.

Если $k=4$, то $4L=6S$, то есть $2L=3S$: число $S$ чётное, а $L=\dfrac{3S}{2}$. Условие $151\le\dfrac{3S}{2}\le 159$ даёт $100{,}7\le S\le 106$. Наименьшее чётное $S$ здесь — $102$, тогда $L=153$ и $N=4\cdot 153-5=607$.

Проверим: $4\cdot 153=612$ и $6\cdot 102=612$ — ячеек одинаково, монет $612-5=607$. Число $607$ меньше $750$, поэтому оно и есть наименьшее.

Пункт в. Теперь ищем наибольшее $N$. Начнём с самого большого $k=7$: $7L=9S$. Значит, $L$ делится на $9$, а $S$ — на $7$: $L=9t$, $S=7t$. В промежутке от $151$ до $159$ кратно девяти только $153$, отсюда $t=17$ и $S=119$ — подходит. Получаем $N=7\cdot 153-5=1066$.

При $k\le 6$ монет не больше $6\cdot 159-5=949$, это меньше $1066$. Значит, наибольшее число монет — $1066$.

Проверим себя: $1071=7\cdot 153=9\cdot 119$, и при раскладке $1066$ монет в обоих случаях действительно остаётся по $5$ пустых ячеек.