ID: 00022366
Источник: ФИПИ
Смотри: длинная скобка $3x+|x-a|+|2x+a+1|$ стоит в уравнении дважды. Значит, её удобно спрятать за одну букву. Обозначим $t=3x+|x-a|+|2x+a+1|$, и уравнение превращается в обычное квадратное: $t^2-at+a^2-16=0$.
Сначала как следует изучим саму функцию $f(x)=3x+|x-a|+|2x+a+1|$. Это линейная часть плюс два модуля, поэтому график ломаный и выпуклый. Возьмём $x$ очень маленьким (левее обеих точек, где модули «переключаются»): тогда $|x-a|=a-x$ и $|2x+a+1|=-(2x+a+1)$, и всё складывается в $f=3x+(a-x)-(2x+a+1)=-1$. То есть слева функция лежит на постоянном уровне $-1$ — целый луч точек даёт значение $-1$.
Дальше вправо наклоны только прибавляются (после точек перелома они становятся $+4$ или $+2$, а потом $+6$), поэтому правее последней точки перелома $f$ строго растёт от $-1$ до $+\infty$. Отсюда вывод про число корней уравнения $f(x)=t^{*}$: если $t^{*}<-1$ — корней нет; если $t^{*}=-1$ — корней бесконечно много (весь левый луч!); если $t^{*}>-1$ — ровно один корень.
Теперь ясно, что нам нужно от квадратного уравнения по $t$. Чтобы у исходного уравнения был ровно один корень по $x$, значение $t=-1$ запрещено (оно сразу даёт бесконечно много корней), и нужно, чтобы ровно один корень $t$ был больше $-1$, а второй — меньше $-1$ (он даст ноль корней).
Условие «число $-1$ лежит строго между корнями» для параболы $g(t)=t^2-at+a^2-16$ (ветви вверх) — это $g(-1)<0$. Считаем: $g(-1)=1+a+a^2-16=a^2+a-15<0$. Корни трёхчлена $a^2+a-15$ равны $\dfrac{-1\pm\sqrt{61}}{2}$, поэтому $a\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{61}}{2};\;\dfrac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)$. При таких $a$ один корень $t$ автоматически больше $-1$, второй меньше $-1$ — ровно один корень по $x$.
Остался случай, когда корень $t$ один (двойной): дискриминант $64-3a^2=0$, то есть $a=\pm\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$. Двойной корень равен $t=\dfrac{a}{2}$, и он годится, только если $\dfrac{a}{2}>-1$. При $a=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ получаем $t=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}>-1$ — ровно один корень, подходит. При $a=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ выходит $t<-1$ — корней нет, не подходит.
Собираем всё вместе: $a\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{61}}{2};\;\dfrac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)\cup\left\{\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right\}$. Проверка краёв: на концах интервала $g(-1)=0$, то есть $t=-1$ становится корнем, и решений сразу бесконечно много — поэтому концы не берём. Всё сходится.