Смотри: длинная скобка 3x+|x-a|+|2x+a+1| стоит в уравнении дважды. Значит, её удобно спрятать за одну букву. Обозначим t=3x+|x-a|+|2x+a+1|, и уравнение превращается в обычное квадратное: t^2-at+a^2-16=0.

Сначала как следует изучим саму функцию f(x)=3x+|x-a|+|2x+a+1|. Это линейная часть плюс два модуля, поэтому график ломаный и выпуклый. Возьмём x очень маленьким (левее обеих точек, где модули «переключаются»): тогда |x-a|=a-x и |2x+a+1|=-(2x+a+1), и всё складывается в f=3x+(a-x)-(2x+a+1)=-1. То есть слева функция лежит на постоянном уровне -1 — целый луч точек даёт значение -1.

Дальше вправо наклоны только прибавляются (после точек перелома они становятся +4 или +2, а потом +6), поэтому правее последней точки перелома f строго растёт от -1 до +\infty. Отсюда вывод про число корней уравнения f(x)=t^{*}: если t^{*}<-1 — корней нет; если t^{*}=-1 — корней бесконечно много (весь левый луч!); если t^{*}>-1 — ровно один корень.

Теперь ясно, что нам нужно от квадратного уравнения по t. Чтобы у исходного уравнения был ровно один корень по x, значение t=-1 запрещено (оно сразу даёт бесконечно много корней), и нужно, чтобы ровно один корень t был больше -1, а второй — меньше -1 (он даст ноль корней).

Условие «число -1 лежит строго между корнями» для параболы g(t)=t^2-at+a^2-16 (ветви вверх) — это g(-1)<0. Считаем: g(-1)=1+a+a^2-16=a^2+a-15<0. Корни трёхчлена a^2+a-15 равны \dfrac{-1\pm\sqrt{61}}{2}, поэтому a\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{61}}{2};\;\dfrac{-1+\sqrt{61}}{2}\right). При таких a один корень t автоматически больше -1, второй меньше -1 — ровно один корень по x.

Остался случай, когда корень t один (двойной): дискриминант 64-3a^2=0, то есть a=\pm\dfrac{8\sqrt{3}}{3}. Двойной корень равен t=\dfrac{a}{2}, и он годится, только если \dfrac{a}{2}>-1. При a=\dfrac{8\sqrt{3}}{3} получаем t=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}>-1 — ровно один корень, подходит. При a=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3} выходит t<-1 — корней нет, не подходит.

Собираем всё вместе: a\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{61}}{2};\;\dfrac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)\cup\left\{\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right\}. Проверка краёв: на концах интервала g(-1)=0, то есть t=-1 становится корнем, и решений сразу бесконечно много — поэтому концы не берём. Всё сходится.