Слева 4^x = (2^x)^2, поэтому напрашивается замена y = 2^x, причём обязательно y > 0. Уравнение принимает вид y^2 + (a - 6)y = (3|a| + 2)y + (a - 6)(3|a| + 2). Обозначим для краткости p = a - 6 и q = 3|a| + 2.

Тогда y^2 + py = qy + pq, то есть y^2 + (p - q)y - pq = 0. Это разложение на множители: (y + p)(y - q) = 0. Значит y = -p = 6 - a или y = q = 3|a| + 2.

Каждое положительное y даёт ровно один x = \log_2 y, поэтому число корней равно числу различных положительных значений среди этих двух. Величина q = 3|a| + 2 \geq 2 положительна всегда — один корень она даёт при любом a. А y = 6 - a положительно лишь при a < 6.

Нам нужен ровно один корень. Значит второй кандидат 6 - a не должен давать нового положительного y. Два способа. Первый: 6 - a \leq 0, то есть a \geq 6 — тогда живёт только q. Второй: 6 - a совпадает с q, то есть 6 - a = 3|a| + 2, тогда оба y одинаковы.

Решаем 6 - a = 3|a| + 2, то есть 4 - a = 3|a|. При a \geq 0: 4 - a = 3a \Rightarrow a = 1. При a < 0: 4 - a = -3a \Rightarrow a = -2. Оба значения меньше 6, так что там 6 - a > 0 и совпадение реально.

Собираем: a = -2, a = 1 и вся полупрямая a \geq 6. Ответ: a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; +\infty). Проверка при a = 1: 6 - a = 5 и q = 5 — оба y = 5, единственный корень; а при a = 6 значение y = 0 не годится, живёт только y = 20.