ID: 00022381
Источник: ФИПИ
Слева $4^x = (2^x)^2$, поэтому напрашивается замена $y = 2^x$, причём обязательно $y > 0$. Уравнение принимает вид $y^2 + (a - 6)y = (3|a| + 2)y + (a - 6)(3|a| + 2)$. Обозначим для краткости $p = a - 6$ и $q = 3|a| + 2$.
Тогда $y^2 + py = qy + pq$, то есть $y^2 + (p - q)y - pq = 0$. Это разложение на множители: $(y + p)(y - q) = 0$. Значит $y = -p = 6 - a$ или $y = q = 3|a| + 2$.
Каждое положительное $y$ даёт ровно один $x = \log_2 y$, поэтому число корней равно числу различных положительных значений среди этих двух. Величина $q = 3|a| + 2 \geq 2$ положительна всегда — один корень она даёт при любом $a$. А $y = 6 - a$ положительно лишь при $a < 6$.
Нам нужен ровно один корень. Значит второй кандидат $6 - a$ не должен давать нового положительного $y$. Два способа. Первый: $6 - a \leq 0$, то есть $a \geq 6$ — тогда живёт только $q$. Второй: $6 - a$ совпадает с $q$, то есть $6 - a = 3|a| + 2$, тогда оба $y$ одинаковы.
Решаем $6 - a = 3|a| + 2$, то есть $4 - a = 3|a|$. При $a \geq 0$: $4 - a = 3a \Rightarrow a = 1$. При $a < 0$: $4 - a = -3a \Rightarrow a = -2$. Оба значения меньше $6$, так что там $6 - a > 0$ и совпадение реально.
Собираем: $a = -2$, $a = 1$ и вся полупрямая $a \geq 6$. Ответ: $a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; +\infty)$. Проверка при $a = 1$: $6 - a = 5$ и $q = 5$ — оба $y = 5$, единственный корень; а при $a = 6$ значение $y = 0$ не годится, живёт только $y = 20$.