«Большое» уравнение — на самом деле квадратное относительно одного и того же куска. Введём t=|x-a^2|+|x+1|; тогда получаем t^2-7t+4a^2+4=0.

Поймём, какие t вообще достижимы. Сумма расстояний от точки x до a^2 и до -1 не меньше расстояния между ними: t\ge a^2-(-1)=a^2+1. Причём если нужное t строго больше a^2+1 — таких x ровно два (слева и справа); если t=a^2+1 — целый отрезок x (бесконечно много); если t</p><p>Корни квадратного уравнения:t_{1,2}=\dfrac{7\pm\sqrt{33-16a^2}}{2}; они действительны приa^2\le\dfrac{33}{16}, то есть|a|\le\dfrac{\sqrt{33}}4. Больший кореньt_1\ge\dfrac72=3{,}5, а порогa^2+1не превосходит\dfrac{33}{16}+1=\dfrac{49}{16}\approx3{,}06. Значитt_1всегда даёт свою пару корнейx. Всё решает меньший кореньt_2.</p><p>Ровно два корняxбудет тогда, когдаt_2не даёт новых, то естьt_2\le a^2+1(иначе получим4корня). Решаем\dfrac{7-\sqrt{33-16a^2}}2\le a^2+1, то есть5-2a^2\le\sqrt{33-16a^2}. Посколькуa^2\le\dfrac{33}{16}<2{,}5, левая часть неотрицательна; возводим в квадрат:(5-2a^2)^2\le33-16a^2, откуда4a^4-4a^2-8\le0, то есть(a^2-2)(a^2+1)\le0, значитa^2\le2. Приa^2=2получаемt_2=a^2+1— вырождение в целый отрезок (бесконечно много корней), поэтому берём строго|a|<\sqrt2.</p><p>Отдельно — касание|a|=\dfrac{\sqrt{33}}4: тогдаt_1=t_2=3{,}5>a^2+1, единственное значениеtдаёт ровно2корняx— подходит! А в зазоре\sqrt2<|a|<\dfrac{\sqrt{33}}4оба корняtпревышают порог, и корнейxуже4.</p><p>Собираем: ровно два корня приa\in(-\sqrt2;\sqrt2)и в двух отдельных точкахa=\pm\dfrac{\sqrt{33}}4. Границыa=\pm\sqrt2$ выпадают (там бесконечно много корней), а точки касания включаем.