ID: 00022363
Источник: ФИПИ
«Большое» уравнение — на самом деле квадратное относительно одного и того же куска. Введём $t=|x-a^2|+|x+1|$; тогда получаем $t^2-7t+4a^2+4=0$.
Поймём, какие $t$ вообще достижимы. Сумма расстояний от точки $x$ до $a^2$ и до $-1$ не меньше расстояния между ними: $t\ge a^2-(-1)=a^2+1$. Причём если нужное $t$ строго больше $a^2+1$ — таких $x$ ровно два (слева и справа); если $t=a^2+1$ — целый отрезок $x$ (бесконечно много); если $t</p><p>Корни квадратного уравнения:$t_{1,2}=\dfrac{7\pm\sqrt{33-16a^2}}{2}$; они действительны при$a^2\le\dfrac{33}{16}$, то есть$|a|\le\dfrac{\sqrt{33}}4$. Больший корень$t_1\ge\dfrac72=3{,}5$, а порог$a^2+1$не превосходит$\dfrac{33}{16}+1=\dfrac{49}{16}\approx3{,}06$. Значит$t_1$всегда даёт свою пару корней$x$. Всё решает меньший корень$t_2$.</p><p>Ровно два корня$x$будет тогда, когда$t_2$не даёт новых, то есть$t_2\le a^2+1$(иначе получим$4$корня). Решаем$\dfrac{7-\sqrt{33-16a^2}}2\le a^2+1$, то есть$5-2a^2\le\sqrt{33-16a^2}$. Поскольку$a^2\le\dfrac{33}{16}<2{,}5$, левая часть неотрицательна; возводим в квадрат:$(5-2a^2)^2\le33-16a^2$, откуда$4a^4-4a^2-8\le0$, то есть$(a^2-2)(a^2+1)\le0$, значит$a^2\le2$. При$a^2=2$получаем$t_2=a^2+1$— вырождение в целый отрезок (бесконечно много корней), поэтому берём строго$|a|<\sqrt2$.</p><p>Отдельно — касание$|a|=\dfrac{\sqrt{33}}4$: тогда$t_1=t_2=3{,}5>a^2+1$, единственное значение$t$даёт ровно$2$корня$x$— подходит! А в зазоре$\sqrt2<|a|<\dfrac{\sqrt{33}}4$оба корня$t$превышают порог, и корней$x$уже$4$.</p><p>Собираем: ровно два корня при$a\in(-\sqrt2;\sqrt2)$и в двух отдельных точках$a=\pm\dfrac{\sqrt{33}}4$. Границы$a=\pm\sqrt2$ выпадают (там бесконечно много корней), а точки касания включаем.