И здесь под «страшным» уравнением спрятано квадратное. Пусть s=|x-a-1|+|x-a+1|; уравнение принимает вид s^2+as+a^2-16=0.

Сдвинем взгляд: положим y=x-a, тогда s=|y-1|+|y+1|=2\max(|y|,1)\ge2. Причём если нужное s>2 — таких x ровно два; если s=2 — целый отрезок (бесконечно много); если s<2 — ни одного.

Корни квадратного уравнения: s_{1,2}=\dfrac{-a\pm\sqrt{64-3a^2}}2; они действительны при |a|\le\dfrac{8\sqrt3}3. Чтобы корней x было ровно два, ровно один корень s должен превзойти порог 2 (тогда он даёт свою пару x, а второй — ничего).

Удобно смотреть на знак трёхчлена g(s)=s^2+as+a^2-16 в точке s=2: g(2)=a^2+2a-12. Если g(2)&lt;0, то двойка лежит между корнями s_2&lt;2</p><p>Осталось поймать касание. Приa=-\dfrac{8\sqrt3}3дискриминант равен нулю, единственный кореньs=-\dfrac a2=\dfrac{4\sqrt3}3\approx2{,}31>2— он даёт ровно два корняx, подходит. А приa=+\dfrac{8\sqrt3}3этот кореньs=-\dfrac a2<0<2— корнейxнет. В узком зазоре между-\dfrac{8\sqrt3}3и-1-\sqrt{13}оба корняsбольше2, и корнейxполучается4.</p><p>Итог: ровно два корня приa\in(-1-\sqrt{13};\,-1+\sqrt{13})и в отдельной точкеa=-\dfrac{8\sqrt3}3. Границыa=-1\pm\sqrt{13}даютs=2$ (бесконечно много корней) — исключаем; точку касания включаем.