Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022365

И здесь под «страшным» уравнением спрятано квадратное. Пусть $s=|x-a-1|+|x-a+1|$; уравнение принимает вид $s^2+as+a^2-16=0$.

Сдвинем взгляд: положим $y=x-a$, тогда $s=|y-1|+|y+1|=2\max(|y|,1)\ge2$. Причём если нужное $s>2$ — таких $x$ ровно два; если $s=2$ — целый отрезок (бесконечно много); если $s<2$ — ни одного.

Корни квадратного уравнения: $s_{1,2}=\dfrac{-a\pm\sqrt{64-3a^2}}2$; они действительны при $|a|\le\dfrac{8\sqrt3}3$. Чтобы корней $x$ было ровно два, ровно один корень $s$ должен превзойти порог $2$ (тогда он даёт свою пару $x$, а второй — ничего).

Удобно смотреть на знак трёхчлена $g(s)=s^2+as+a^2-16$ в точке $s=2$: $g(2)=a^2+2a-12$. Если $g(2)&lt;0$, то двойка лежит между корнями $s_2&lt;2</p><p>Осталось поймать касание. При$a=-\dfrac{8\sqrt3}3$дискриминант равен нулю, единственный корень$s=-\dfrac a2=\dfrac{4\sqrt3}3\approx2{,}31>2$— он даёт ровно два корня$x$, подходит. А при$a=+\dfrac{8\sqrt3}3$этот корень$s=-\dfrac a2<0<2$— корней$x$нет. В узком зазоре между$-\dfrac{8\sqrt3}3$и$-1-\sqrt{13}$оба корня$s$больше$2$, и корней$x$получается$4$.</p><p>Итог: ровно два корня при$a\in(-1-\sqrt{13};\,-1+\sqrt{13})$и в отдельной точке$a=-\dfrac{8\sqrt3}3$. Границы$a=-1\pm\sqrt{13}$дают$s=2$ (бесконечно много корней) — исключаем; точку касания включаем.