ID: 00022364
Источник: ФИПИ
Снова прячется квадратное уравнение относительно одинакового куска. Обозначим $u=4x+|x-a|-|3x+1|$; тогда получаем $u^2-(a+1)u+1=0$.
Разберёмся, как устроена функция $u(x)$ — она кусочно-линейная с «переломами» в точках $x=a$ и $x=-\tfrac13$. Её поведение зависит от того, где $a$ лежит относительно $-\tfrac13$.
Если $a<-\tfrac13$, то на всех трёх кусках наклон положителен (равен $6,\,8,\,2$), и $u(x)$ строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Значит каждое значение $u$ достигается ровно при одном $x$, и число корней $x$ равно числу корней по $u$. Их два и они различны, когда дискриминант $(a+1)^2-4>0$, то есть $a<-3$. При $a=-3$ — двойной корень (один $x$), при $-3</p><p><b>Если$a>-\tfrac13$</b>, то на среднем куске$[-\tfrac13;a]$наклон равен нулю: там$u\equiv a-1$(плато). Слева$u$растёт от$-\infty$до$a-1$, справа — от$a-1$до$+\infty$. Поэтому любое значение$u\ne a-1$достигается ровно при одном$x$, а значение$u=a-1$— на целом отрезке (бесконечно много$x$). Значит ровно два корня$x$будет, когда квадратное уравнение имеет два различных корня$u$(то есть$(a+1)^2-4>0$, здесь это$a>1$) и ни один из них не равен$a-1$.</p><p>Проверим опасное значение: подставив$u=a-1$, получаем$3-2a=0$, то есть$a=\tfrac32$. При$a=\tfrac32$один корень$u$попадает на плато — бесконечно много$x$, это исключаем. При$a=1$— двойной корень$u$(один$x$).</p><p>Складываем оба случая: ровно два корня при$a<-3$, а также при$a>1$, кроме$a=\tfrac32$. Границы$a=-3$и$a=1$дают лишь один корень, а$a=\tfrac32$ — бесконечно много; все три исключаем.