Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение левая круглая скобка 4x плюс модуль x минус a модуль минус модуль 3x плюс 1 модуль правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс модуль x минус a модуль минус модуль 3x плюс 1 модуль правая круглая скобка плюс 1 равно 0 имеет ровно два различных корня.

левая круглая скобка минус бесконечность; минус 3 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка объединение левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения параметра a , при каждом из которых…

№2. Задание 18

ID: 00022364

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\left(4x+|x-a|-|3x+1|\right)^2-(a+1)\left(4x+|x-a|-|3x+1|\right)+1=0

имеет ровно два различных корня.

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Снова прячется квадратное уравнение относительно одинакового куска. Обозначим $u=4x+|x-a|-|3x+1|$ ; тогда получаем $u^2-(a+1)u+1=0$ .

Разберёмся, как устроена функция $u(x)$ — она кусочно-линейная с «переломами» в точках $x=a$ и $x=-\tfrac13$ . Её поведение зависит от того, где $a$ лежит относительно $-\tfrac13$ .

Если $a<-\tfrac13$ , то на всех трёх кусках наклон положителен (равен $6,\,8,\,2$ ), и $u(x)$ строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ . Значит каждое значение $u$ достигается ровно при одном $x$ , и число корней $x$ равно числу корней по $u$ . Их два и они различны, когда дискриминант $(a+1)^2-4>0$ , то есть $a<-3$ . При $a=-3$ — двойной корень (один $x$ ), при $-3Если$ a>-\tfrac13 $, то на среднем куске$ [-\tfrac13;a] $наклон равен нулю: там$ u\equiv a-1 $(плато). Слева$ u $растёт от$ -\infty $до$ a-1 $, справа — от$ a-1 $до$ +\infty $. Поэтому любое значение$ u\ne a-1 $достигается ровно при одном$ x $, а значение$ u=a-1 $— на целом отрезке (бесконечно много$ x $). Значит ровно два корня$ x $будет, когда квадратное уравнение имеет два различных корня$ u $(то есть$ (a+1)^2-4>0 $, здесь это$ a>1 $) и ни один из них не равен$ a-1 $.Проверим опасное значение: подставив$ u=a-1 $, получаем$ 3-2a=0 $, то есть$ a=\tfrac32 $. При$ a=\tfrac32 $один корень$ u $попадает на плато — бесконечно много$ x $, это исключаем. При$ a=1 $— двойной корень$ u $(один$ x $).Складываем оба случая: ровно два корня при$ a<-3 $, а также при$ a>1 $, кроме$ a=\tfrac32 $. Границы$ a=-3 $и$ a=1 $дают лишь один корень, а$ a=\tfrac32$ — бесконечно много; все три исключаем.

Ответ

(-\infty;\,-3)\cup\left(1;\,\dfrac32\right)\cup\left(\dfrac32;\,+\infty\right)