Расположение… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028814

Первое уравнение — произведение, равное нулю, поэтому его решения распадаются на прямую и параболу. Второе уравнение — прямая с угловым коэффициентом $3$, которая двигается вверх-вниз при изменении $a$. Поэтому здесь удобен графический метод, дополненный исследованием расположения корней квадратного трёхчлена: картинка объясняет, что происходит, а точную границу даёт знак трёхчлена в нужной точке.

Область определения: подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x-y+3\geq 0$.

Произведение равно нулю в двух ситуациях. Либо $x-y+3=0$, то есть $y=x+3$ — это прямая, и на ней условие области определения выполнено как равенство. Либо $x^{2}-5x-y+3=0$, то есть $y=x^{2}-5x+3$ — это парабола, но её точки годятся лишь там, где $x-y+3\geq 0$.

Теперь подставим $y=3x+a$ и посчитаем точки пересечения.

Случай 1 — пересечение с прямой $y=x+3$. Приравниваем: $x+3=3x+a$, откуда $2x=3-a$ и $x_{0}=\dfrac{3-a}{2}$. Такая точка существует ровно одна при любом $a$, и она всегда является решением. Значит, одно решение у нас есть всегда, и вся задача — в том, чтобы парабола дала ровно одно дополнительное.

Случай 2 — пересечение с параболой. Приравниваем $x^{2}-5x+3=3x+a$, то есть

$$x^{2}-8x+3-a=0.$$

Но не всякий корень годится: нужно ещё $x-y+3\geq 0$. Подставим $y=3x+a$: $x-3x-a+3\geq 0$, то есть $-2x\geq a-3$ и $x\leq \dfrac{3-a}{2}$. Замечательно: справа стоит ровно то же число $x_{0}$, что мы нашли в первом случае. То есть годятся только корни, не превосходящие $x_{0}$.

Обозначим $g(x)=x^{2}-8x+3-a$. Это парабола ветвями вверх с вершиной при $x=4$. Её дискриминант равен $D=64-4(3-a)=4(13+a)$, так что корни существуют при $a\geq -13$.

Полезно посчитать значение $g$ в точке $x_{0}$. Так как $3-a=2x_{0}$, получаем $g(x_{0})=x_{0}^{2}-8x_{0}+2x_{0}=x_{0}(x_{0}-6)$. Возвращаясь к параметру, находим

$$g(x_{0})=\dfrac{(3-a)}{2}\cdot\dfrac{(-9-a)}{2}=-\dfrac{(3-a)(9+a)}{4}.$$

Знак $g(x_{0})$ решает всё. Если $g(x_{0})\lt 0$, точка $x_{0}$ лежит между корнями, то есть ровно один корень меньше $x_{0}$ — как раз одно дополнительное решение, и всего их два. Условие $g(x_{0})\lt 0$ равносильно $(3-a)(9+a)\gt 0$, то есть $-9\lt a\lt 3$ — подходит.

Если $g(x_{0})\gt 0$, оба корня по одну сторону от $x_{0}$. При $a\gt 3$ имеем $x_{0}\lt 0$, то есть $x_{0}$ левее вершины и левее обоих корней: подходящих корней нет, решение всего одно — мало. При $a\lt -9$ имеем $x_{0}\gt 6$, то есть $x_{0}$ правее обоих корней: подходят оба, решений три — много.

Отдельно смотрим границы. При $a=-9$ получаем $g(x_{0})=0$, то есть сам $x_{0}=6$ — корень; он совпадает с уже найденной точкой и нового решения не даёт. Второй корень равен $8-6=2$ (сумма корней равна восьми), он меньше шести и годится. Итого два решения — подходит.

При $a=3$ снова $g(x_{0})=0$ и $x_{0}=0$ — корень, совпадающий со старой точкой, а второй корень равен $8$ и условию $x\leq 0$ не удовлетворяет. Решение всего одно — не подходит.

Наконец, при $a=-13$ дискриминант равен нулю: у параболы единственная точка касания $x=4$, и она меньше, чем $x_{0}=\dfrac{3+13}{2}=8$, значит, годится. Решений ровно два — подходит. При $a\lt -13$ корней нет вовсе, остаётся одно решение.