Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Первое уравнение — произведение, равное нулю, поэтому его решения распадаются на прямую и параболу. Второе уравнение — прямая с угловым коэффициентом 3, которая двигается вверх-вниз при изменении a. Поэтому здесь удобен графический метод, дополненный исследованием расположения корней квадратного трёхчлена: картинка объясняет, что происходит, а точную границу даёт знак трёхчлена в нужной точке.

Область определения: подкоренное выражение неотрицательно, то есть x-y+3\geq 0.

Произведение равно нулю в двух ситуациях. Либо x-y+3=0, то есть y=x+3 — это прямая, и на ней условие области определения выполнено как равенство. Либо x^{2}-5x-y+3=0, то есть y=x^{2}-5x+3 — это парабола, но её точки годятся лишь там, где x-y+3\geq 0.

Теперь подставим y=3x+a и посчитаем точки пересечения.

Случай 1 — пересечение с прямой y=x+3. Приравниваем: x+3=3x+a, откуда 2x=3-a и x_{0}=\dfrac{3-a}{2}. Такая точка существует ровно одна при любом a, и она всегда является решением. Значит, одно решение у нас есть всегда, и вся задача — в том, чтобы парабола дала ровно одно дополнительное.

Случай 2 — пересечение с параболой. Приравниваем x^{2}-5x+3=3x+a, то есть

x^{2}-8x+3-a=0.

Но не всякий корень годится: нужно ещё x-y+3\geq 0. Подставим y=3x+a: x-3x-a+3\geq 0, то есть -2x\geq a-3 и x\leq \dfrac{3-a}{2}. Замечательно: справа стоит ровно то же число x_{0}, что мы нашли в первом случае. То есть годятся только корни, не превосходящие x_{0}.

Обозначим g(x)=x^{2}-8x+3-a. Это парабола ветвями вверх с вершиной при x=4. Её дискриминант равен D=64-4(3-a)=4(13+a), так что корни существуют при a\geq -13.

Полезно посчитать значение g в точке x_{0}. Так как 3-a=2x_{0}, получаем g(x_{0})=x_{0}^{2}-8x_{0}+2x_{0}=x_{0}(x_{0}-6). Возвращаясь к параметру, находим

g(x_{0})=\dfrac{(3-a)}{2}\cdot\dfrac{(-9-a)}{2}=-\dfrac{(3-a)(9+a)}{4}.

Знак g(x_{0}) решает всё. Если g(x_{0})\lt 0, точка x_{0} лежит между корнями, то есть ровно один корень меньше x_{0} — как раз одно дополнительное решение, и всего их два. Условие g(x_{0})\lt 0 равносильно (3-a)(9+a)\gt 0, то есть -9\lt a\lt 3 — подходит.

Если g(x_{0})\gt 0, оба корня по одну сторону от x_{0}. При a\gt 3 имеем x_{0}\lt 0, то есть x_{0} левее вершины и левее обоих корней: подходящих корней нет, решение всего одно — мало. При a\lt -9 имеем x_{0}\gt 6, то есть x_{0} правее обоих корней: подходят оба, решений три — много.

Отдельно смотрим границы. При a=-9 получаем g(x_{0})=0, то есть сам x_{0}=6 — корень; он совпадает с уже найденной точкой и нового решения не даёт. Второй корень равен 8-6=2 (сумма корней равна восьми), он меньше шести и годится. Итого два решения — подходит.

При a=3 снова g(x_{0})=0 и x_{0}=0 — корень, совпадающий со старой точкой, а второй корень равен 8 и условию x\leq 0 не удовлетворяет. Решение всего одно — не подходит.

Наконец, при a=-13 дискриминант равен нулю: у параболы единственная точка касания x=4, и она меньше, чем x_{0}=\dfrac{3+13}{2}=8, значит, годится. Решений ровно два — подходит. При a\lt -13 корней нет вовсе, остаётся одно решение.