Расположение… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042203

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. При $a=7$ дроби не определены, поэтому дальше считаем $a\ne 7$.

Шаг 1. Замена. Положим $t=3^{|x|}$. Так как $|x|\ge 0$, то $t\ge 1$. Посмотрим, сколько корней $x$ даёт каждое значение $t$:

— $t=1$ означает $|x|=0$, то есть один корень $x=0$;

— каждое $t\gt 1$ даёт $|x|=\log_{3}t\gt 0$, то есть два корня $x=\pm\log_{3}t$;

— значения $t\lt 1$ корней не дают.

Так как $9^{|x|}=\left(3^{|x|}\right)^{2}=t^{2}$, после умножения на $a-7\ne 0$ получаем квадратное уравнение

$$g(t)=(a-7)t^{2}-9at+14a+19=0.$$

Шаг 2. Переводим условие на язык $t$. Если $t=1$ — корень уравнения $g(t)=0$, то он даёт один корень $x=0$, а второй корень $t$ добавляет $0$ или $2$ корня $x$ — всего получается нечётное число корней. Значит, $t=1$ корнем быть не должен, и ровно два корня $x$ получаются в двух случаях:

1) один корень $g(t)$ больше $1$, а другой меньше $1$;

2) у $g(t)$ один двойной корень, и он больше $1$.

Шаг 3. Случай 1. Число $1$ лежит строго между корнями квадратного трёхчлена тогда и только тогда, когда значение трёхчлена в точке $1$ имеет знак, противоположный знаку старшего коэффициента, то есть $(a-7)\cdot g(1)\lt 0$. Считаем:

$$g(1)=a-7-9a+14a+19=6a+12.$$

$$(a-7)(6a+12)\lt 0\iff -2\lt a\lt 7.$$

Все эти значения подходят: корень $t\gt 1$ даёт два корня $x$, корень $t\lt 1$ не даёт ничего.

Шаг 4. Случай 2. Двойной корень бывает, когда дискриминант равен нулю:

$$D=81a^{2}-4(a-7)(14a+19)=81a^{2}-\left(56a^{2}-316a-532\right)=25a^{2}+316a+532.$$

Решаем $25a^{2}+316a+532=0$. Его дискриминант $316^{2}-4\cdot 25\cdot 532=99\,856-53\,200=46\,656=216^{2}$, поэтому

$$a=\dfrac{-316\pm 216}{50},\qquad a=-2\ \text{ или }\ a=-\dfrac{532}{50}=-10{,}64.$$

Двойной корень находится по формуле $t_{0}=\dfrac{9a}{2(a-7)}$.

При $a=-2$: $t_{0}=\dfrac{-18}{-18}=1$. Корень $t=1$ даёт только $x=0$ — один корень, не подходит.

При $a=-10{,}64$: $t_{0}=\dfrac{9\cdot(-10{,}64)}{2\cdot(-17{,}64)}=\dfrac{95{,}76}{35{,}28}=\dfrac{19}{7}\gt 1$. Двойной корень больше $1$ даёт два корня $x=\pm\log_{3}\dfrac{19}{7}$ — подходит.

Шаг 5. Остальные значения не подходят. Если $(a-7)g(1)\gt 0$, то есть $a\lt -2$ или $a\gt 7$, число $1$ лежит вне промежутка между корнями: различные корни $t$ (если они есть) либо оба больше $1$ — тогда корней $x$ четыре, — либо оба меньше $1$ — тогда корней нет. Значение $a=-2$ уже разобрано.

Проверим себя. При $a=0$ уравнение $-7t^{2}+19=0$ даёт $t=\sqrt{\dfrac{19}{7}}\approx 1{,}65\gt 1$ (отрицательный корень не годится) — ровно два корня $x$. При $a=-10{,}64$ трёхчлен равен $-17{,}64\left(t-\dfrac{19}{7}\right)^{2}$ — снова два корня $x$.