Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041821

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно $a$: при $x=1$ все три коэффициента обращаются в ноль ($1-1=0$; $1-2+3-2=0$; $-1+3-2=0$). Значит, у них есть общий множитель $x-1$.

Шаг 1. Раскладываем коэффициенты.

Коэффициент при $a$: $x^{3}-2x^{2}+3x-2=(x-1)\left(x^{2}-x+2\right)$. Проверим раскрытием: $x^{3}-x^{2}+2x-x^{2}+x-2=x^{3}-2x^{2}+3x-2$. Верно.

Свободный член: $-x^{4}+3x^{3}-2x^{2}=-x^{2}\left(x^{2}-3x+2\right)=-x^{2}(x-1)(x-2)$.

Выносим $x-1$:

$$(x-1)\left(a^{2}-\left(x^{2}-x+2\right)a-x^{2}(x-2)\right)=0.$$

Шаг 2. Скобка — квадратный трёхчлен относительно $a$. Его корни по $a$: $a=x^{2}$ и $a=2-x$. Проверим: их сумма $x^{2}+2-x$ совпадает с коэффициентом $x^{2}-x+2$, а произведение $x^{2}(2-x)=-x^{2}(x-2)$ — со свободным членом. Поэтому

$$a^{2}-\left(x^{2}-x+2\right)a-x^{2}(x-2)=\left(a-x^{2}\right)\left(a-2+x\right).$$

Уравнение равносильно

$$(x-1)\left(a-x^{2}\right)(x+a-2)=0,$$

то есть совокупности: $x=1$, $x^{2}=a$, $x=2-a$.

Шаг 3. Кандидаты в корни: $x=1$ и $x=2-a$ — при любом $a$; $x=\pm\sqrt{a}$ — при $a\gt 0$ (при $a=0$ один корень $x=0$, при $a\lt 0$ корней нет).

Шаг 4. Перебираем случаи.

При $a\lt 0$ кандидаты $1$ и $2-a$. Так как $2-a\gt 2$, они различны — корней ровно два. Подходит.

При $a=0$ корни $1$, $2$ и $0$ — их три. Не подходит.

При $a\gt 0$ кандидатов четыре: $1$, $2-a$, $\sqrt{a}$, $-\sqrt{a}$. Найдём все совпадения. Удобно обозначить $t=\sqrt{a}\gt 0$.

— $1=\sqrt{a}$ при $a=1$; $1=-\sqrt{a}$ невозможно.

— $1=2-a$ при $a=1$.

— $2-a=\sqrt{a}$: $t^{2}+t-2=0$, $(t+2)(t-1)=0$, $t=1$, то есть $a=1$.

— $2-a=-\sqrt{a}$: $t^{2}-t-2=0$, $(t-2)(t+1)=0$, $t=2$, то есть $a=4$.

При $a=1$ кандидаты $1$, $1$, $1$, $-1$ — различных корней два. Подходит.

При $a=4$ кандидаты $1$, $-2$, $2$, $-2$ — различных корней три. Не подходит.

При остальных $a\gt 0$ совпадений нет — корней четыре. Не подходит.

Шаг 5. Собираем ответ: $a\lt 0$ или $a=1$.

Проверим себя при $a=1$ подстановкой в разложенный вид: $(x-1)\left(1-x^{2}\right)(x-1)=-(x-1)^{3}(x+1)$ — нули только $x=1$ и $x=-1$. Сходится.