Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041819

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Слагаемые в обеих частях похожи друг на друга, поэтому перенесём всё влево и поищем общие множители.

Шаг 1. Переносим правую часть влево и записываем слагаемые парами:

$$\left(ax^{4}+ax^{3}\right)-\left(2x^{3}+2x^{2}\right)+\left(\left(a^{3}-a\right)x^{2}+\left(a^{3}-a\right)x\right)-\left(\left(2a^{2}-2\right)x+2a^{2}-2\right)=0.$$

В каждой паре есть множитель $x+1$: $ax^{3}(x+1)-2x^{2}(x+1)+\left(a^{3}-a\right)x(x+1)-\left(2a^{2}-2\right)(x+1)=0$. Выносим его:

$$(x+1)\left(ax^{3}-2x^{2}+\left(a^{3}-a\right)x-2\left(a^{2}-1\right)\right)=0.$$

Шаг 2. Во второй скобке сгруппируем слагаемые с множителем $a$ и без него. Заметим, что $a^{3}-a=a\left(a^{2}-1\right)$:

$$ax^{3}+a\left(a^{2}-1\right)x-2x^{2}-2\left(a^{2}-1\right)=ax\left(x^{2}+a^{2}-1\right)-2\left(x^{2}+a^{2}-1\right)=(ax-2)\left(x^{2}+a^{2}-1\right).$$

Значит, исходное уравнение равносильно уравнению

$$(x+1)(ax-2)\left(x^{2}+a^{2}-1\right)=0,$$

то есть совокупности трёх уравнений: $x=-1$, $ax=2$, $x^{2}=1-a^{2}$.

Шаг 3. Корни каждого уравнения.

Уравнение $x=-1$ даёт корень при любом $a$.

Уравнение $ax=2$ при $a\ne 0$ даёт $x=\dfrac{2}{a}$, а при $a=0$ корней не имеет ($0=2$ неверно).

Уравнение $x^{2}=1-a^{2}$ при $|a|\gt 1$ корней не имеет, при $|a|=1$ даёт $x=0$, при $|a|\lt 1$ даёт два корня $x=\pm\sqrt{1-a^{2}}$.

Шаг 4. Перебираем случаи.

Если $|a|\gt 1$, кандидаты $-1$ и $\dfrac{2}{a}$. Они совпадают при $\dfrac{2}{a}=-1$, то есть при $a=-2$ — тогда корень один, не подходит. При остальных $|a|\gt 1$ корней ровно два: это $a\lt -2$, $-2\lt a\lt -1$ и $a\gt 1$.

Если $a=1$, корни $-1$, $2$ и $0$ — их три. Если $a=-1$, корни $-1$, $-2$ и $0$ — тоже три. Не подходят.

Если $a=0$, уравнение $ax=2$ корней не даёт, а $x^{2}=1$ даёт $x=\pm 1$. Вместе с $x=-1$ различных корней два: $-1$ и $1$. Подходит.

Если $0\lt |a|\lt 1$, кандидаты $-1$, $\dfrac{2}{a}$ и $\pm\sqrt{1-a^{2}}$. Здесь $0\lt\sqrt{1-a^{2}}\lt 1$, поэтому числа $\pm\sqrt{1-a^{2}}$ отличны от $-1$ и друг от друга, а $\left|\dfrac{2}{a}\right|\gt 2$ отличается от всех остальных. Корней четыре, не подходит.

Шаг 5. Собираем ответ: $a\lt -2$, $-2\lt a\lt -1$, $a=0$, $a\gt 1$.

Проверим себя при $a=-\dfrac32$: кандидаты $-1$ и $\dfrac{2}{a}=-\dfrac43$, уравнение $x^{2}=1-\dfrac94$ корней не имеет — ровно два корня, значение действительно входит в ответ.