Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043803

Здесь нужно посчитать корни простейшего тригонометрического уравнения на отрезке, длина которого зависит от $a$. Удобно сделать замену $t=ax$ и разрезать отрезок для $t$ в нуле: тогда корни слева и справа считаются по одной и той же «лесенке».

Шаг 1. Сведение. При $a=0$ корней нет ($\cos0=1$). Пусть $a\ne0$, $t=ax$. Корни уравнения $\cos t=0{,}4$: $t=\pm c+2\pi k$, где $c=\arccos0{,}4$. Мерить будем в долях $\pi$: $d=\dfrac c\pi$; из оценки $1{,}1\lt c\lt1{,}2$ получаем $0{,}35\lt d\lt0{,}39$.

Корни симметричны относительно нуля, и $t=0$ корнем не является. Поэтому число корней на отрезке $[-u;v]$ ($u,v\gt0$) равно $N(u)+N(v)$, где $N(X)$ — число корней на $(0;X]$.

При $a\gt0$ отрезок $x\in[-\pi;4\pi]$ переходит в $t\in[-a\pi;4a\pi]$, при $a\lt0$ — в $t\in[4a\pi;-a\pi]=[-4|a|\pi;|a|\pi]$. В обоих случаях число корней равно $N(|a|)+N(4|a|)$. Достаточно решить задачу для $b=|a|\gt0$.

Шаг 2. Лесенка. Положительные корни (в долях $\pi$): $d,\ 2-d,\ 2+d,\ 4-d,\ \dots$ Поэтому $N(X)$ равно: $1$ при $d\le X\lt2-d$, $2$ при $2-d\le X\lt2+d$, $3$ при $2+d\le X\lt4-d$, и так далее; $N(X)=2m$ при $2m-d\le X\lt2m+d$.

Шаг 3. Оценка. Длина отрезка $5b\pi$. Если $5b\ge12$, корней не меньше $12$; если $5b\lt8$, не больше $8$. Значит, $1{,}6\le b\lt2{,}4$, и тогда $N(b)\in\{1;2;3\}$, а $4b\in[6{,}4;9{,}6)$, $N(4b)\in\{7;8;9\}$: ведь $4b\ge6{,}4\gt6+d$ и $4b\lt9{,}6\lt10-d$.

Шаг 4. Подбор. Нужно $N(b)+N(4b)=10$.

— $N(b)=1$, то есть $1{,}6\le b\lt2-d$: тогда $4b\ge6{,}4\gt6+d$, а $4b\lt4(2-d)=8-4d\lt8-d$. Значит, $N(4b)=7$ — сумма $8$;

— $N(b)=2$, то есть $2-d\le b\lt2+d$: нужно $N(4b)=8$, то есть $8-d\le4b\lt8+d$, $2-\dfrac d4\le b\lt2+\dfrac d4$ — этот промежуток лежит внутри $[2-d;2+d)$, подходит;

— $N(b)=3$: $b\ge2+d\gt2{,}35$, $4b\gt9{,}4\gt8+d$, $N(4b)=9$ — сумма $12$.

Итак, $2-\dfrac d4\le|a|\lt2+\dfrac d4$.

Шаг 5. Концы для отрицательных $a$. При $a\gt0$ это условие $2-\dfrac d4\le a\lt2+\dfrac d4$. При $a\lt0$ подставляем $|a|=-a$: $2-\dfrac d4\le-a\lt2+\dfrac d4$, то есть $-2-\dfrac d4\lt a\le-2+\dfrac d4$. Здесь $\dfrac d4=\dfrac{\arccos0{,}4}{4\pi}$.

Проверим $a=2$: $t\in[-2\pi;8\pi]$ — ровно пять периодов, десять корней. При $a=2{,}5$: $t\in[-2{,}5\pi;10\pi]$, корни от $-2{,}37\pi$ до $9{,}63\pi$ — их тринадцать.