Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041813

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Уравнение громоздкое, но посмотрим на него как на квадратное относительно $a$: все три коэффициента — при $a^{2}$, при $a$ и свободный член — обращаются в ноль при $x=3$. Значит, у них есть общий множитель $x-3$, и уравнение разложится на простые множители.

Шаг 1. Раскладываем каждый коэффициент.

При $a^{2}$: $x^{2}-3x=x(x-3)$.

При $a$ группируем слагаемые по два: $x^{4}-3x^{3}-27x+81=x^{3}(x-3)-27(x-3)=(x-3)\left(x^{3}-27\right)$.

Свободный член: $-27x^{3}+81x^{2}=-27x^{2}(x-3)$.

Выносим общий множитель за скобку:

$$(x-3)\left(xa^{2}+\left(x^{3}-27\right)a-27x^{2}\right)=0.$$

Шаг 2. Раскладываем скобку. Раскроем её и сгруппируем слагаемые:

$$xa^{2}+x^{3}a-27a-27x^{2}=xa\left(a+x^{2}\right)-27\left(a+x^{2}\right)=\left(ax-27\right)\left(x^{2}+a\right).$$

Итак, уравнение равносильно такому:

$$(x-3)\left(ax-27\right)\left(x^{2}+a\right)=0.$$

Все множители определены при любых $x$, поэтому произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Получаем совокупность трёх уравнений: $x=3$, $ax=27$, $x^{2}=-a$.

Шаг 3. Разберём каждое уравнение совокупности.

Уравнение $x=3$ даёт корень при любом $a$.

Уравнение $ax=27$ при $a\ne 0$ даёт корень $x=\dfrac{27}{a}$, а при $a=0$ превращается в неверное равенство $0=27$ и корней не имеет.

Уравнение $x^{2}=-a$ при $a\gt 0$ корней не имеет, при $a=0$ даёт один корень $x=0$, при $a\lt 0$ — два корня $x=\pm\sqrt{-a}$.

Шаг 4. Считаем различные корни.

При $a\gt 0$ кандидатов два: $3$ и $\dfrac{27}{a}$. Они совпадают, когда $\dfrac{27}{a}=3$, то есть при $a=9$. Значит, при $0\lt a\lt 9$ и при $a\gt 9$ различных корней ровно два, а при $a=9$ — один.

При $a=0$ корни $x=3$ и $x=0$ — два различных. Подходит.

При $a\lt 0$ кандидатов четыре: $3$, $\dfrac{27}{a}$, $\sqrt{-a}$ и $-\sqrt{-a}$; последние два заведомо различны. Ровно два различных корня останется, только если кандидаты склеятся. Проверим все возможные совпадения.

Число $3$ положительно, поэтому может совпасть только с $\sqrt{-a}$: тогда $-a=9$, то есть $a=-9$.

Число $\dfrac{27}{a}$ при $a\lt 0$ отрицательно, поэтому может совпасть только с $-\sqrt{-a}$. Возводим равенство в квадрат: $\dfrac{729}{a^{2}}=-a$, откуда $a^{3}=-729$ и снова $a=-9$.

Совпадение $\dfrac{27}{a}=3$ означало бы $a=9\gt 0$ — при отрицательном $a$ оно невозможно.

Итак, при $a\lt 0$, $a\ne -9$ все четыре кандидата различны — корней четыре, не подходит. При $a=-9$ кандидаты равны $3$, $\dfrac{27}{-9}=-3$, $3$ и $-3$ — различных корней ровно два. Подходит.

Шаг 5. Собираем ответ: $a=-9$, а также $0\le a\lt 9$ и $a\gt 9$.

Проверим себя. При $a=-9$ разложенный вид становится $(x-3)\left(-9x-27\right)\left(x^{2}-9\right)=-9(x-3)^{2}(x+3)^{2}$ — нули только $x=3$ и $x=-3$. А при $a=-1$, вне ответа, корни $3$, $-27$, $1$ и $-1$ — их четыре, как и должно быть.