Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042219

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр, который стоит в основании логарифма.

Шаг 1. Основание. Логарифм определён, только если основание положительно и не равно $1$:

$$a-3{,}5\gt 0,\quad a-3{,}5\ne 1\iff a\gt 3{,}5,\ a\ne 4{,}5.$$

При остальных $a$ уравнение не имеет смысла, и корней нет.

Шаг 2. Логарифмы с одним и тем же допустимым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы и аргументы положительны. Аргумент $4x^{2}+9$ положителен всегда, а второй аргумент ему равен, значит, тоже положителен. Поэтому достаточно решить

$$4x^{2}+9=4(a-3)x+8\iff 4x^{2}-4(a-3)x+1=0.$$

Шаг 3. Два различных корня — когда дискриминант положителен:

$$\dfrac{D}{4}=4(a-3)^{2}-4\gt 0\iff (a-3)^{2}\gt 1\iff a\lt 2\ \text{ или }\ a\gt 4.$$

Шаг 4. Пересекаем с условием шага 1 ($a\gt 3{,}5$, $a\ne 4{,}5$): получаем $4\lt a\lt 4{,}5$ или $a\gt 4{,}5$.

Проверим себя. При $a=4$ получается $4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}=0$ — один корень, граница не входит. При $a=5$: основание $1{,}5$, уравнение $4x^{2}-8x+1=0$, $x=1\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; второй аргумент $8x+8$ в этих точках положителен — корней два. При $a=4{,}5$ основание равно $1$, логарифм не определён, хотя квадратное уравнение имеет два корня.