Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043802

Здесь нужно посчитать корни уравнения $\cos ax=0{,}6$ на отрезке, длина которого зависит от $a$. После замены $t=ax$ корни выстраиваются по оси через известные промежутки, и задача сводится к аккуратному подсчёту.

Шаг 1. Сведение. При $a=0$ уравнение $\cos0=0{,}6$ неверно — корней нет. Косинус чётный: $\cos(-ax)=\cos ax$, поэтому при $a$ и $-a$ корни одни и те же. Решим для $a\gt0$, а потом отразим ответ.

При $a\gt0$ замена $t=ax$ взаимно однозначно переводит отрезок $x\in[\pi;6\pi]$ в отрезок $t\in[a\pi;6a\pi]$. Нужно, чтобы на нём было ровно $10$ корней уравнения $\cos t=0{,}6$.

Шаг 2. Корни. $t=\pm c+2\pi k$, где $c=\arccos0{,}6$. Удобно мерить в долях $\pi$: обозначим $d=\dfrac c\pi$. По данной оценке $0{,}92\lt c\lt0{,}93$, поэтому $0{,}29\lt d\lt0{,}3$ (в частности, $d\gt\dfrac27\approx0{,}2857$). Положительные корни в долях $\pi$ идут так: $d,\ 2-d,\ 2+d,\ 4-d,\ 4+d,\ \dots$ — в каждом промежутке $(2k-1;2k+1]$ ровно два.

Шаг 3. Грубая оценка. На любом полуинтервале длины $2\pi$ ровно два корня. Длина нашего отрезка $5a\pi$. Если $5a\ge12$, то есть $a\ge2{,}4$, в нём помещаются $6$ таких полуинтервалов — корней не меньше $12$.

Если $a\le1{,}6$, то $5a\pi\le8\pi$, и наш отрезок лежит внутри отрезка $[a\pi;\,a\pi+8\pi]$. На полуинтервале $[a\pi;\,a\pi+8\pi)$ ровно $4$ полуинтервала длины $2\pi$, то есть ровно $8$ корней. Ещё один корень может дать только правый конец $a\pi+8\pi$. Всего не больше $9$.

Значит, ровно $10$ корней возможно только при $1{,}6\lt a\lt2{,}4$. Этот случай разберём точно.

Шаг 4. Точный подсчёт при $1{,}6\lt a\lt2{,}4$. Число корней на $[a;6a]$ (в долях $\pi$) равно разности: корни, не большие $6a$, минус корни, меньшие $a$.

Корней, меньших $a$: при $a\le2-d$ — один ($d$); при $2-d\lt a\le2+d$ — два; при $a\gt2+d$ — три.

Корней, не больших $X=6a\in(9{,}6;14{,}4)$: $9$ при $X\lt10-d$, $10$ при $X\in[10-d;10+d)$, $11$ при $[10+d;12-d)$, $12$ при $[12-d;12+d)$, $13$ при $[12+d;14-d)$, $14$ при $[14-d;14+d)$.

Нужна разность $10$:

— если меньших корней один ($a\le2-d$), нужно $11$ корней до $6a$: $6a\ge10+d$, то есть $a\ge\dfrac{10+d}{6}$. Но $\dfrac{10+d}{6}\gt2-d\iff7d\gt2$ — верно, значит, вариантов нет;

— если меньших два ($2-d\lt a\le2+d$), нужно $12$: $12-d\le6a\lt12+d$, то есть $2-\dfrac d6\le a\lt2+\dfrac d6$. Этот промежуток лежит внутри $(2-d;2+d]$ — подходит;

— если меньших три ($a\gt2+d$), нужно $13$: $6a\lt14-d$, $a\lt\dfrac{14-d}{6}$. Но $\dfrac{14-d}{6}\lt2+d\iff7d\gt2$ — вариантов нет.

Здесь и понадобилась данная оценка $\arccos0{,}6\gt0{,}92$: она гарантирует $7d\gt2$.

Шаг 5. Собираем промежутки. При $a\gt0$: $2-\dfrac{d}{6}\le a\lt2+\dfrac d6$. Для отрицательных $a$ отражаем (конец, который был включён, остаётся включённым у $|a|$): $-2-\dfrac d6\lt a\le-2+\dfrac d6$. Здесь $\dfrac d6=\dfrac{\arccos0{,}6}{6\pi}$.

Проверим $a=2$: $2x\in[2\pi;12\pi]$ — ровно пять периодов, десять корней. А при $a=2{,}2$: $t\in[2{,}2\pi;13{,}2\pi]$, корни от $2{,}295\pi$ до $12{,}295\pi$ — их одиннадцать, так что $a=2{,}2$ не подходит.