Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042220

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр, который стоит и в основании логарифма, и в аргументе.

Шаг 1. Основание: $a+2{,}5\gt 0$ и $a+2{,}5\ne 1$, то есть $a\gt -2{,}5$, $a\ne -1{,}5$.

Шаг 2. При допустимом основании уравнение равносильно равенству аргументов при положительных аргументах. Первый аргумент $x^{2}+4$ положителен всегда, поэтому второй, равный ему, тоже положителен:

$$x^{2}+4=(a+4)x+3\iff x^{2}-(a+4)x+1=0.$$

Шаг 3. Число корней найдём графически. Число $x=0$ корнем не является (получилось бы $1=0$), поэтому делим на $x$:

$$a+4=x+\dfrac{1}{x}.$$

Функция $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ при $x\gt 0$ удовлетворяет неравенству $x+\dfrac{1}{x}\ge 2$ (среднее арифметическое чисел $x$ и $\dfrac{1}{x}$ не меньше их среднего геометрического, равного $1$), причём равенство только при $x=1$. На $(0;1]$ она убывает от $+\infty$ до $2$, на $[1;+\infty)$ возрастает от $2$ до $+\infty$. Функция нечётная, поэтому при $x\lt 0$ она принимает значения $(-\infty;-2]$, причём $-2$ — только при $x=-1$.

Значит, уравнение $g(x)=c$ имеет два корня при $|c|\gt 2$, один при $|c|=2$ и ни одного при $|c|\lt 2$.

Шаг 4. Два различных корня при $|a+4|\gt 2$: $a+4\gt 2$ или $a+4\lt -2$, то есть $a\gt -2$ или $a\lt -6$.

Шаг 5. Пересекаем с условием на основание ($a\gt -2{,}5$, $a\ne -1{,}5$). Луч $a\lt -6$ выпадает целиком, остаётся $-2\lt a\lt -1{,}5$ или $a\gt -1{,}5$.

Проверим себя. При $a=-2$: $x^{2}-2x+1=0$, корень один. При $a=0$: основание $2{,}5$, уравнение $x^{2}-4x+1=0$, $x=2\pm\sqrt{3}$, второй аргумент $4x+3$ в них положителен — два корня. При $a=-1{,}5$ основание равно $1$, уравнение не определено.