Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00041823

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Модуль стоит при выражении $x+1$, поэтому удобно сделать замену $t=x+1$. Каждому $t$ соответствует ровно одно $x=t-1$, так что число корней при замене не меняется.

Шаг 1. Замена. Так как $x=t-1$, правая часть равна $2(t-1)-a=2t-2-a$. Уравнение принимает вид $t|t|=2t-2-a$, или, если собрать всё с $t$ слева,

$$t|t|-2t=-a-2.$$

Теперь число корней — это число точек пересечения графика функции $f(t)=t|t|-2t$ с горизонтальной прямой $y=-a-2$.

Шаг 2. Исследуем $f(t)$, раскрывая модуль.

При $t\ge 0$: $f(t)=t^{2}-2t=(t-1)^{2}-1$. Это часть параболы с вершиной $(1;-1)$: на отрезке $[0;1]$ функция убывает от $0$ до $-1$, при $t\ge 1$ возрастает от $-1$ до $+\infty$.

При $t\lt 0$: $f(t)=-t^{2}-2t=-(t+1)^{2}+1$. Это часть параболы ветвями вниз с вершиной $(-1;1)$: при $t\le -1$ функция возрастает от $-\infty$ до $1$, на промежутке $[-1;0)$ убывает от $1$ к $0$.

Итог: функция непрерывна, возрастает до значения $1$ в точке $t=-1$, затем убывает до значения $-1$ в точке $t=1$, затем снова возрастает без ограничения.

Шаг 3. Сколько раз горизонтальная прямая $y=c$ пересекает такой график:

— при $c\gt 1$ и при $c\lt -1$ — один раз;

— при $-1\lt c\lt 1$ — три раза (по разу на каждом участке монотонности);

— при $c=1$ — два раза: в вершине $t=-1$ и ещё раз на правом возрастающем участке;

— при $c=-1$ — два раза: в вершине $t=1$ и ещё раз на левом возрастающем участке.

Значит, ровно два корня бывает только при $c=1$ и $c=-1$.

Шаг 4. Возвращаемся к параметру: $c=-a-2$.

$-a-2=1$ даёт $a=-3$; $-a-2=-1$ даёт $a=-1$.

Проверим себя подстановкой. При $a=-1$ уравнение $t|t|=2t-1$: при $t\ge 0$ получаем $(t-1)^{2}=0$, $t=1$, то есть $x=0$; при $t\lt 0$ получаем $t^{2}+2t-1=0$, подходит $t=-1-\sqrt{2}$, то есть $x=-2-\sqrt{2}$. Проверка $x=0$ в исходном уравнении: $1\cdot|1|=1$ и $2\cdot 0+1=1$ — верно. Корней два.

При $a=-3$ уравнение $t|t|=2t+1$: при $t\ge 0$ получаем $t^{2}-2t-1=0$, подходит $t=1+\sqrt{2}$, то есть $x=\sqrt{2}$; при $t\lt 0$ получаем $(t+1)^{2}=0$, $t=-1$, то есть $x=-2$. Проверка $x=-2$: $(-1)\cdot|-1|=-1$ и $2\cdot(-2)+3=-1$ — верно. Корней снова два.