Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x в…

Перед нами уравнение с параметром. Буква x — это неизвестное, которое мы ищем, а буква a — «настройка»: для каждого своего a получается своё уравнение. Нас просят найти те настройки, при которых корень либо ровно один, либо корней нет совсем.

Сначала упростим запись. Выражение a-3 встречается во всей формуле только целиком, поэтому обозначим его одной буквой: b=a-3. Тогда a-3=b, значит -a+3=-b, и уравнение принимает вид x^{4}+b^{2}=|x-b|+|x+b|.

Назову словами метод, который здесь работает: исследование симметрии и замена переменной. Симметрия — потому что уравнение не меняется, если поменять знак у x; это сразу многое говорит про число корней. Замена — потому что после симметрии удобно работать не с самим x, а с его модулем t=|x|: тогда модули в правой части раскрываются одним движением. Графический метод здесь тоже возможен, но он потребовал бы рисовать четвёртую степень, а с ней глазом легко ошибиться, поэтому идём аналитически.

Шаг 1. Проверим симметрию. Подставим вместо x число -x. Слева: (-x)^{4}+b^{2}=x^{4}+b^{2} — ничего не изменилось, потому что четвёртая степень «съедает» минус. Справа: |-x-b|+|-x+b|=|x+b|+|x-b| — те же два слагаемых, только переставлены местами, ведь модуль не различает u и -u.

Значит, уравнение при замене x\to -x переходит само в себя. Отсюда вывод: если число x_{0} — корень, то и -x_{0} — тоже корень. Ненулевые корни всегда идут парами.

Следствие для нашей задачи: единственный корень возможен только один — x=0. Если бы единственным корнем было какое-то x_{0}\ne 0, то вместе с ним корнем было бы и -x_{0}, а это уже два корня.

Шаг 2. Свернём правую часть. Есть удобное тождество: для любых чисел u и v верно |u-v|+|u+v|=2\max(|u|,|v|), то есть сумма этих двух модулей равна удвоенному большему из модулей. Проверим на числах: при u=1, v=3 слева |1-3|+|1+3|=2+4=6, справа 2\cdot 3=6 — сходится.

Поэтому |x-b|+|x+b|=2\max(|x|,|b|). Обозначим t=|x| (это неотрицательное число) и c=|b|=|a-3| (тоже неотрицательное). Уравнение превращается в t^{4}+c^{2}=2\max(t,c), где t\ge 0.

Важно не забыть про пересчёт корней: каждое найденное значение t\gt 0 даёт сразу два корня x=t и x=-t, а значение t=0 даёт ровно один корень x=0.

Удобно перенести всё в одну сторону и изучать функцию g(t)=t^{4}+c^{2}-2\max(t,c): корни уравнения — это нули этой функции.

Случай 1 — когда 0\le t\le c. Тогда большее из t и c равно c, поэтому g(t)=t^{4}+c^{2}-2c=t^{4}+c(c-2).

Случай 2 — когда t\ge c. Тогда большее равно t, поэтому g(t)=t^{4}-2t+c^{2}.

Шаг 3. Разберём, что бывает при разных c.

Случай A — когда c\gt 2. В случае 1 имеем c(c-2)\gt 0 (оба множителя положительны), а t^{4}\ge 0, поэтому g(t)\gt 0 — нулей нет. В случае 2 переменная t\ge c\gt 2, и g(t)=t(t^{3}-2)+c^{2}; здесь t^{3}\gt 2^{3}=8\gt 2, значит t(t^{3}-2)\gt 0, а c^{2}\gt 0, поэтому снова g(t)\gt 0. Итог: при c\gt 2 корней нет вовсе — это нам подходит.

Случай B — когда c=2. В случае 1 получаем g(t)=t^{4}+2\cdot(2-2)=t^{4}, а t^{4}=0 только при t=0. В случае 2 при t\ge 2 имеем g(t)=t(t^{3}-2)+4, и это положительно, ведь t^{3}\ge 8\gt 2. Итог: единственное значение t=0, то есть ровно один корень x=0 — это тоже нам подходит.

Случай C — когда 0\lt c\lt 2. Посмотрим на g в точке t=0: по случаю 1 это g(0)=c(c-2). Здесь c\gt 0, а c-2\lt 0, значит произведение отрицательно: g(0)\lt 0. С другой стороны, при больших t слагаемое t^{4} растёт быстрее всего и g(t) становится сколь угодно большим положительным. Функция g непрерывна, поэтому где-то между нулём и большим t она обязана пересечь ноль: найдётся t_{0}\gt 0 с g(t_{0})=0. А это даёт сразу два корня x=t_{0} и x=-t_{0} — уже слишком много. Не подходит.

Случай D — когда c=0. Тогда b=0 и уравнение выглядит как x^{4}=2|x|, то есть t^{4}=2t, или t(t^{3}-2)=0. Корни: t=0 и t=\sqrt[3]{2}. Первый даёт x=0, второй — сразу два корня x=\pm\sqrt[3]{2}. Всего три корня. Не подходит.

Шаг 4. Соберём подходящие настройки. Нам годятся случаи A и B, то есть c\ge 2. Вспоминаем, что c=|a-3|, значит условие такое: |a-3|\ge 2.

Модуль разности не меньше двух означает, что число a удалено от числа 3 не меньше чем на 2. Это либо a-3\ge 2, то есть a\ge 5, либо a-3\le -2, то есть a\le 1.

Проверим себя на одном значении. Возьмём a=5, тогда b=2, c=2: уравнение x^{4}+4=|x-2|+|x+2|. При x=0 слева 0+4=4, справа 2+2=4 — сходится, корень есть. При x=1 слева 1+4=5, справа 1+3=4 — уже не равно, левая часть больше. И дальше слева растёт быстрее, так что других корней нет. Ровно один корень — как и должно быть.