Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028818

Перед нами уравнение с параметром. Буква $x$ — это неизвестное, которое мы ищем, а буква $a$ — «настройка»: для каждого своего $a$ получается своё уравнение. Нас просят найти те настройки, при которых корень либо ровно один, либо корней нет совсем.

Сначала упростим запись. Выражение $a-3$ встречается во всей формуле только целиком, поэтому обозначим его одной буквой: $b=a-3$. Тогда $a-3=b$, значит $-a+3=-b$, и уравнение принимает вид $x^{4}+b^{2}=|x-b|+|x+b|$.

Назову словами метод, который здесь работает: исследование симметрии и замена переменной. Симметрия — потому что уравнение не меняется, если поменять знак у $x$; это сразу многое говорит про число корней. Замена — потому что после симметрии удобно работать не с самим $x$, а с его модулем $t=|x|$: тогда модули в правой части раскрываются одним движением. Графический метод здесь тоже возможен, но он потребовал бы рисовать четвёртую степень, а с ней глазом легко ошибиться, поэтому идём аналитически.

Шаг 1. Проверим симметрию. Подставим вместо $x$ число $-x$. Слева: $(-x)^{4}+b^{2}=x^{4}+b^{2}$ — ничего не изменилось, потому что четвёртая степень «съедает» минус. Справа: $|-x-b|+|-x+b|=|x+b|+|x-b|$ — те же два слагаемых, только переставлены местами, ведь модуль не различает $u$ и $-u$.

Значит, уравнение при замене $x\to -x$ переходит само в себя. Отсюда вывод: если число $x_{0}$ — корень, то и $-x_{0}$ — тоже корень. Ненулевые корни всегда идут парами.

Следствие для нашей задачи: единственный корень возможен только один — $x=0$. Если бы единственным корнем было какое-то $x_{0}\ne 0$, то вместе с ним корнем было бы и $-x_{0}$, а это уже два корня.

Шаг 2. Свернём правую часть. Есть удобное тождество: для любых чисел $u$ и $v$ верно $|u-v|+|u+v|=2\max(|u|,|v|)$, то есть сумма этих двух модулей равна удвоенному большему из модулей. Проверим на числах: при $u=1$, $v=3$ слева $|1-3|+|1+3|=2+4=6$, справа $2\cdot 3=6$ — сходится.

Поэтому $|x-b|+|x+b|=2\max(|x|,|b|)$. Обозначим $t=|x|$ (это неотрицательное число) и $c=|b|=|a-3|$ (тоже неотрицательное). Уравнение превращается в $t^{4}+c^{2}=2\max(t,c)$, где $t\ge 0$.

Важно не забыть про пересчёт корней: каждое найденное значение $t\gt 0$ даёт сразу два корня $x=t$ и $x=-t$, а значение $t=0$ даёт ровно один корень $x=0$.

Удобно перенести всё в одну сторону и изучать функцию $g(t)=t^{4}+c^{2}-2\max(t,c)$: корни уравнения — это нули этой функции.

Случай 1 — когда $0\le t\le c$. Тогда большее из $t$ и $c$ равно $c$, поэтому $g(t)=t^{4}+c^{2}-2c=t^{4}+c(c-2)$.

Случай 2 — когда $t\ge c$. Тогда большее равно $t$, поэтому $g(t)=t^{4}-2t+c^{2}$.

Шаг 3. Разберём, что бывает при разных $c$.

Случай A — когда $c\gt 2$. В случае 1 имеем $c(c-2)\gt 0$ (оба множителя положительны), а $t^{4}\ge 0$, поэтому $g(t)\gt 0$ — нулей нет. В случае 2 переменная $t\ge c\gt 2$, и $g(t)=t(t^{3}-2)+c^{2}$; здесь $t^{3}\gt 2^{3}=8\gt 2$, значит $t(t^{3}-2)\gt 0$, а $c^{2}\gt 0$, поэтому снова $g(t)\gt 0$. Итог: при $c\gt 2$ корней нет вовсе — это нам подходит.

Случай B — когда $c=2$. В случае 1 получаем $g(t)=t^{4}+2\cdot(2-2)=t^{4}$, а $t^{4}=0$ только при $t=0$. В случае 2 при $t\ge 2$ имеем $g(t)=t(t^{3}-2)+4$, и это положительно, ведь $t^{3}\ge 8\gt 2$. Итог: единственное значение $t=0$, то есть ровно один корень $x=0$ — это тоже нам подходит.

Случай C — когда $0\lt c\lt 2$. Посмотрим на $g$ в точке $t=0$: по случаю 1 это $g(0)=c(c-2)$. Здесь $c\gt 0$, а $c-2\lt 0$, значит произведение отрицательно: $g(0)\lt 0$. С другой стороны, при больших $t$ слагаемое $t^{4}$ растёт быстрее всего и $g(t)$ становится сколь угодно большим положительным. Функция $g$ непрерывна, поэтому где-то между нулём и большим $t$ она обязана пересечь ноль: найдётся $t_{0}\gt 0$ с $g(t_{0})=0$. А это даёт сразу два корня $x=t_{0}$ и $x=-t_{0}$ — уже слишком много. Не подходит.

Случай D — когда $c=0$. Тогда $b=0$ и уравнение выглядит как $x^{4}=2|x|$, то есть $t^{4}=2t$, или $t(t^{3}-2)=0$. Корни: $t=0$ и $t=\sqrt[3]{2}$. Первый даёт $x=0$, второй — сразу два корня $x=\pm\sqrt[3]{2}$. Всего три корня. Не подходит.

Шаг 4. Соберём подходящие настройки. Нам годятся случаи A и B, то есть $c\ge 2$. Вспоминаем, что $c=|a-3|$, значит условие такое: $|a-3|\ge 2$.

Модуль разности не меньше двух означает, что число $a$ удалено от числа $3$ не меньше чем на $2$. Это либо $a-3\ge 2$, то есть $a\ge 5$, либо $a-3\le -2$, то есть $a\le 1$.

Проверим себя на одном значении. Возьмём $a=5$, тогда $b=2$, $c=2$: уравнение $x^{4}+4=|x-2|+|x+2|$. При $x=0$ слева $0+4=4$, справа $2+2=4$ — сходится, корень есть. При $x=1$ слева $1+4=5$, справа $1+3=4$ — уже не равно, левая часть больше. И дальше слева растёт быстрее, так что других корней нет. Ровно один корень — как и должно быть.