Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043798

Перенесём $ax$ влево и изучим функцию

$$h(x)=|x-a|+|2x+3a|+ax-1.$$

Число корней уравнения — число нулей $h$. По условию $a\ge0$.

Случай $a=0$. Уравнение $|x|+2|x|=1$, $|x|=\dfrac13$ — два корня. Не подходит.

Случай $a\gt0$. Точки излома $x=-1{,}5a$ и $x=a$, причём $-1{,}5a\lt a$. Угловые коэффициенты $h$ на трёх промежутках:

— $x\lt-1{,}5a$: $-1-2+a=a-3$;

— $-1{,}5a\lt x\lt a$: $-1+2+a=a+1\gt0$;

— $x\gt a$: $1+2+a=a+3\gt0$.

Подслучай $a\ge3$. Левый наклон $a-3\ge0$, остальные положительны, поэтому $h$ не убывает на всей прямой и строго возрастает при $x\gt-1{,}5a$. При $x\to+\infty$ $h\to+\infty$. Значение в точке излома: $h(-1{,}5a)=2{,}5a-1{,}5a^2-1$; при $a\ge3$ оно отрицательно ($3a^2-5a+2=(3a-2)(a-1)\gt0$). Значит, справа от $-1{,}5a$ ровно один корень, а слева $h\le h(-1{,}5a)\lt0$ — корней нет. Ровно один корень при всех $a\ge3$.

Подслучай $0\lt a\lt3$. Функция убывает при $x\lt-1{,}5a$ и возрастает при $x\gt-1{,}5a$, уходя в $+\infty$ в обе стороны. Её наименьшее значение — в вершине $x=-1{,}5a$:

$$h(-1{,}5a)=|-2{,}5a|+0-1{,}5a^2-1=2{,}5a-1{,}5a^2-1.$$

Если минимум отрицателен — два корня, если положителен — ни одного, ровно один — когда минимум равен нулю:

$$1{,}5a^2-2{,}5a+1=0\iff 3a^2-5a+2=0\iff a=1\ \text{или}\ a=\dfrac23.$$

Оба значения лежат в $(0;3)$.

Итак, ровно одно решение при $a=\dfrac23$, $a=1$ и при $a\ge3$.

Проверим $a=1$: уравнение $|x-1|+|2x+3|=1-x$. В точке $x=-1{,}5$: $2{,}5+0=2{,}5$ — верно, это единственный корень (минимум $h$ равен нулю). Проверим $a=3$: при $x\le-4{,}5$ получаем $h=-7$, справа $h$ растёт — корень один.