Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028828

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр, «настройка». Слева стоит модуль, справа — выражение, которое тоже может быть любого знака. Нужно поймать настройки, при которых корней ровно четыре.

Метод назову словами: раскрытие модуля по определению плюс выделение полного квадрата. Модуль — это расстояние до нуля, оно неотрицательно; поэтому равенство $|A|=B$ возможно только при $B\ge 0$, и тогда либо $A=B$, либо $A=-B$. Так задача честно распадается на два квадратных уравнения, каждое даёт максимум два корня — всего максимум четыре. Раз нам нужны все четыре, значит ни один корень терять нельзя: должны существовать оба уравнения, все корни должны быть различны и все должны проходить проверку на знак правой части.

Шаг 1. Условие на правую часть. Модуль неотрицателен, поэтому обязательно $2x+2a\ge 0$, то есть $x+a\ge 0$, откуда $x\ge -a$. Это и будет наш «фильтр» для всех найденных корней.

Шаг 2. Раскрываем модуль.

Случай 1 — когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $x^{2}+a^{2}-6x-4a=2x+2a$. Переносим всё влево: $x^{2}-6x-2x+a^{2}-4a-2a=0$, то есть $x^{2}-8x+a^{2}-6a=0$. Выделим полный квадрат: $x^{2}-8x=(x-4)^{2}-16$, поэтому

$$(x-4)^{2}=16+6a-a^{2}=25-\left(a^{2}-6a+9\right)=25-(a-3)^{2}.$$

Обозначим $P=25-(a-3)^{2}$. Корни: $x=4\pm\sqrt{P}$, и они существуют при $P\ge 0$, то есть при $|a-3|\le 5$, а это $-2\le a\le 8$.

Случай 2 — когда выражение под модулем отрицательно, то есть $x^{2}+a^{2}-6x-4a=-2x-2a$. Переносим: $x^{2}-6x+2x+a^{2}-4a+2a=0$, то есть $x^{2}-4x+a^{2}-2a=0$. Полный квадрат: $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$, поэтому

$$(x-2)^{2}=4+2a-a^{2}=5-\left(a^{2}-2a+1\right)=5-(a-1)^{2}.$$

Обозначим $Q=5-(a-1)^{2}$. Корни: $x=2\pm\sqrt{Q}$, существуют при $|a-1|\le \sqrt{5}$, то есть при $1-\sqrt{5}\le a\le 1+\sqrt{5}$.

Шаг 3. Что нужно для четырёх корней. Перечислим требования по пунктам.

Во-первых, каждая пара должна состоять из двух разных чисел, а значит под корнем должно быть строго положительное число: $P\gt 0$ и $Q\gt 0$. Отсюда $-2\lt a\lt 8$ и $1-\sqrt{5}\lt a\lt 1+\sqrt{5}$.

Во-вторых, все четыре корня должны пройти фильтр $x\ge -a$.

В-третьих, пары не должны пересекаться между собой.

Шаг 4. Проверяем фильтр для больших корней — это быстро. Число $4+\sqrt{P}$ не меньше четырёх. А граница $-a$ при $a\gt -2$ меньше двух. Значит, этот корень фильтр проходит всегда. Точно так же $2+\sqrt{Q}$ не меньше двух, а при $a\gt 1-\sqrt{5}$ граница $-a$ меньше, чем $\sqrt{5}-1\approx 1{,}24$. Тоже проходит всегда.

Шаг 5. Теперь меньшие корни — тут и прячется вся суть.

Для первого случая условие $4-\sqrt{P}\ge -a$ перепишем как $\sqrt{P}\le 4+a$. Правая часть неотрицательна (ведь $a\gt -2$), поэтому возводим в квадрат:

$$25-(a-3)^{2}\le (4+a)^{2}.$$

Слева $25-a^{2}+6a-9=16+6a-a^{2}$, справа $16+8a+a^{2}$. Вычитаем левую часть из правой: $16+8a+a^{2}-16-6a+a^{2}=2a^{2}+2a$. Условие превращается в $2a^{2}+2a\ge 0$, то есть $2a(a+1)\ge 0$, откуда $a\le -1$ или $a\ge 0$.

Для второго случая условие $2-\sqrt{Q}\ge -a$ означает $\sqrt{Q}\le 2+a$; правая часть неотрицательна (ведь $a\gt 1-\sqrt{5}\gt -2$), возводим в квадрат:

$$5-(a-1)^{2}\le (2+a)^{2}.$$

Слева $5-a^{2}+2a-1=4+2a-a^{2}$, справа $4+4a+a^{2}$. Разность снова даёт $2a^{2}+2a\ge 0$, то есть то же самое условие: $a\le -1$ или $a\ge 0$. Приятное совпадение — проверять два раза не пришлось бы.

Шаг 6. Когда пары пересекаются. Если какое-то число является корнем сразу обоих уравнений, то для него одновременно $A=B$ и $A=-B$, откуда $B=0$, то есть $x=-a$. Подставим $x=-a$ в первое уравнение: $(-a-4)^{2}=25-(a-3)^{2}$, то есть $a^{2}+8a+16=16+6a-a^{2}$, откуда $2a^{2}+2a=0$ и снова $a=0$ или $a=-1$.

Проверим эти два значения напрямую. При $a=0$: $P=25-9=16$, корни $4\pm 4$, то есть $8$ и $0$; $Q=5-1=4$, корни $2\pm 2$, то есть $4$ и $0$. Число $0$ встречается дважды, различных корней только три — не подходит. При $a=-1$: $P=25-16=9$, корни $7$ и $1$; $Q=5-4=1$, корни $3$ и $1$. Опять совпадение, различных корней три — не подходит.

Шаг 7. Собираем все условия вместе: $-2\lt a\lt 8$, затем $1-\sqrt{5}\lt a\lt 1+\sqrt{5}$, затем «$a\le -1$ или $a\ge 0$», и при этом $a\ne -1$, $a\ne 0$.

Так как $1-\sqrt{5}\approx -1{,}24$ больше, чем $-2$, а $1+\sqrt{5}\approx 3{,}24$ меньше, чем $8$, первое условие полностью поглощается вторым. Остаётся пересечь промежуток $\left(1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right)$ с множеством «$a\lt -1$ или $a\gt 0$» (строгие знаки — из-за выброшенных точек).

Получаем два куска: $1-\sqrt{5}\lt a\lt -1$ и $0\lt a\lt 1+\sqrt{5}$.

Проверим себя при $a=1$. Тогда $P=25-4=21$, корни $4\pm\sqrt{21}$, то есть примерно $8{,}58$ и $-0{,}58$; фильтр требует $x\ge -1$, оба проходят. Далее $Q=5-0=5$, корни $2\pm\sqrt{5}$, то есть примерно $4{,}24$ и $-0{,}24$; оба тоже проходят. Четыре различных корня — сходится.