Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение левая…

Неизвестное здесь x, а a — параметр, «настройка». Слева стоит модуль, справа — выражение, которое тоже может быть любого знака. Нужно поймать настройки, при которых корней ровно четыре.

Метод назову словами: раскрытие модуля по определению плюс выделение полного квадрата. Модуль — это расстояние до нуля, оно неотрицательно; поэтому равенство |A|=B возможно только при B\ge 0, и тогда либо A=B, либо A=-B. Так задача честно распадается на два квадратных уравнения, каждое даёт максимум два корня — всего максимум четыре. Раз нам нужны все четыре, значит ни один корень терять нельзя: должны существовать оба уравнения, все корни должны быть различны и все должны проходить проверку на знак правой части.

Шаг 1. Условие на правую часть. Модуль неотрицателен, поэтому обязательно 2x+2a\ge 0, то есть x+a\ge 0, откуда x\ge -a. Это и будет наш «фильтр» для всех найденных корней.

Шаг 2. Раскрываем модуль.

Случай 1 — когда выражение под модулем неотрицательно, то есть x^{2}+a^{2}-6x-4a=2x+2a. Переносим всё влево: x^{2}-6x-2x+a^{2}-4a-2a=0, то есть x^{2}-8x+a^{2}-6a=0. Выделим полный квадрат: x^{2}-8x=(x-4)^{2}-16, поэтому

(x-4)^{2}=16+6a-a^{2}=25-\left(a^{2}-6a+9\right)=25-(a-3)^{2}.

Обозначим P=25-(a-3)^{2}. Корни: x=4\pm\sqrt{P}, и они существуют при P\ge 0, то есть при |a-3|\le 5, а это -2\le a\le 8.

Случай 2 — когда выражение под модулем отрицательно, то есть x^{2}+a^{2}-6x-4a=-2x-2a. Переносим: x^{2}-6x+2x+a^{2}-4a+2a=0, то есть x^{2}-4x+a^{2}-2a=0. Полный квадрат: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4, поэтому

(x-2)^{2}=4+2a-a^{2}=5-\left(a^{2}-2a+1\right)=5-(a-1)^{2}.

Обозначим Q=5-(a-1)^{2}. Корни: x=2\pm\sqrt{Q}, существуют при |a-1|\le \sqrt{5}, то есть при 1-\sqrt{5}\le a\le 1+\sqrt{5}.

Шаг 3. Что нужно для четырёх корней. Перечислим требования по пунктам.

Во-первых, каждая пара должна состоять из двух разных чисел, а значит под корнем должно быть строго положительное число: P\gt 0 и Q\gt 0. Отсюда -2\lt a\lt 8 и 1-\sqrt{5}\lt a\lt 1+\sqrt{5}.

Во-вторых, все четыре корня должны пройти фильтр x\ge -a.

В-третьих, пары не должны пересекаться между собой.

Шаг 4. Проверяем фильтр для больших корней — это быстро. Число 4+\sqrt{P} не меньше четырёх. А граница -a при a\gt -2 меньше двух. Значит, этот корень фильтр проходит всегда. Точно так же 2+\sqrt{Q} не меньше двух, а при a\gt 1-\sqrt{5} граница -a меньше, чем \sqrt{5}-1\approx 1{,}24. Тоже проходит всегда.

Шаг 5. Теперь меньшие корни — тут и прячется вся суть.

Для первого случая условие 4-\sqrt{P}\ge -a перепишем как \sqrt{P}\le 4+a. Правая часть неотрицательна (ведь a\gt -2), поэтому возводим в квадрат:

25-(a-3)^{2}\le (4+a)^{2}.

Слева 25-a^{2}+6a-9=16+6a-a^{2}, справа 16+8a+a^{2}. Вычитаем левую часть из правой: 16+8a+a^{2}-16-6a+a^{2}=2a^{2}+2a. Условие превращается в 2a^{2}+2a\ge 0, то есть 2a(a+1)\ge 0, откуда a\le -1 или a\ge 0.

Для второго случая условие 2-\sqrt{Q}\ge -a означает \sqrt{Q}\le 2+a; правая часть неотрицательна (ведь a\gt 1-\sqrt{5}\gt -2), возводим в квадрат:

5-(a-1)^{2}\le (2+a)^{2}.

Слева 5-a^{2}+2a-1=4+2a-a^{2}, справа 4+4a+a^{2}. Разность снова даёт 2a^{2}+2a\ge 0, то есть то же самое условие: a\le -1 или a\ge 0. Приятное совпадение — проверять два раза не пришлось бы.

Шаг 6. Когда пары пересекаются. Если какое-то число является корнем сразу обоих уравнений, то для него одновременно A=B и A=-B, откуда B=0, то есть x=-a. Подставим x=-a в первое уравнение: (-a-4)^{2}=25-(a-3)^{2}, то есть a^{2}+8a+16=16+6a-a^{2}, откуда 2a^{2}+2a=0 и снова a=0 или a=-1.

Проверим эти два значения напрямую. При a=0: P=25-9=16, корни 4\pm 4, то есть 8 и 0; Q=5-1=4, корни 2\pm 2, то есть 4 и 0. Число 0 встречается дважды, различных корней только три — не подходит. При a=-1: P=25-16=9, корни 7 и 1; Q=5-4=1, корни 3 и 1. Опять совпадение, различных корней три — не подходит.

Шаг 7. Собираем все условия вместе: -2\lt a\lt 8, затем 1-\sqrt{5}\lt a\lt 1+\sqrt{5}, затем «a\le -1 или a\ge 0», и при этом a\ne -1, a\ne 0.

Так как 1-\sqrt{5}\approx -1{,}24 больше, чем -2, а 1+\sqrt{5}\approx 3{,}24 меньше, чем 8, первое условие полностью поглощается вторым. Остаётся пересечь промежуток \left(1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right) с множеством «a\lt -1 или a\gt 0» (строгие знаки — из-за выброшенных точек).

Получаем два куска: 1-\sqrt{5}\lt a\lt -1 и 0\lt a\lt 1+\sqrt{5}.

Проверим себя при a=1. Тогда P=25-4=21, корни 4\pm\sqrt{21}, то есть примерно 8{,}58 и -0{,}58; фильтр требует x\ge -1, оба проходят. Далее Q=5-0=5, корни 2\pm\sqrt{5}, то есть примерно 4{,}24 и -0{,}24; оба тоже проходят. Четыре различных корня — сходится.