Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043825

Шаг 1. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть:

$$a^2-2ax+x^2+4a+1=4x^2+4x+1-8|x|\iff 3x^2+4x-8|x|+2ax-a^2-4a=0.$$

Шаг 2. $x\ge0$: $3x^2+(2a-4)x-a(a+4)=0$. Четверть дискриминанта:

$$(a-2)^2+3a(a+4)=4a^2+8a+4=4(a+1)^2,$$

корни $x=\dfrac{-(a-2)\pm2(a+1)}{3}$: $x=\dfrac{a+4}{3}$ и $x=-a$.

Шаг 3. $x\lt0$: $3x^2+(2a+12)x-a(a+4)=0$, четверть дискриминанта $(a+6)^2+3a(a+4)=4(a+3)^2$, корни $x=\dfrac{-(a+6)\pm2(a+3)}{3}$: $x=\dfrac a3$ и $x=-a-4$.

Шаг 4. Отбор. Каждый корень годится, только если лежит на своём промежутке:

— $x=-a\ge0\iff a\le0$; $x=\dfrac{a+4}{3}\ge0\iff a\ge-4$;

— $x=\dfrac a3\lt0\iff a\lt0$; $x=-a-4\lt0\iff a\gt-4$.

Все четыре годятся при $-4\lt a\lt0$.

Шаг 5. Совпадения. Корни с разных промежутков совпасть не могут. Внутри промежутков: $-a=\dfrac{a+4}{3}\iff a=-1$; $\dfrac a3=-a-4\iff a=-3$. При этих $a$ корней три.

Итак, подходят: $-4\lt a\lt0$, $a\ne-3$, $a\ne-1$.

Проверим $a=-2$: корни $2$, $\dfrac23$, $-\dfrac23$, $-2$. Подставим $x=-2$: $(-2+2)^2-8+1=-7$ и $(-3)^2-16=-7$ — верно.