Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028812

Здесь и $x$, и $a$ входят во вторых степенях, а мешает всему модуль. Выбираем графический метод в координатах $(x;a)$: считаем параметр второй координатой, рисуем на плоскости множество всех пар, удовлетворяющих уравнению, а потом смотрим, сколько точек этого множества лежит на горизонтальной прямой «$a$ равно данному числу». Метод выбран потому, что после раскрытия модуля в каждом случае получается уравнение окружности, а пересекать окружность прямой — дело простое.

Модуль раскрываем по знаку выражения под ним, то есть по знаку $7x-a$.

Случай 1 — когда $7x-a\geq 0$. Тогда $|7x-a|=7x-a$, и уравнение принимает вид $x^{2}+a^{2}-x-7a=7x-a$, то есть $x^{2}-8x+a^{2}-6a=0$. Выделим полные квадраты: $(x-4)^{2}-16+(a-3)^{2}-9=0$, значит

$$(x-4)^{2}+(a-3)^{2}=25.$$

Это окружность с центром $(4;3)$ и радиусом $5$; берём только ту её часть, что лежит в полуплоскости $a\leq 7x$. Центр там и лежит, ведь $3\leq 28$, поэтому остаётся бо́льшая дуга.

Случай 2 — когда $7x-a\lt 0$. Тогда $|7x-a|=-(7x-a)$, и уравнение превращается в $x^{2}+a^{2}-x-7a=-7x+a$, то есть $x^{2}+6x+a^{2}-8a=0$. Снова выделяем квадраты: $(x+3)^{2}-9+(a-4)^{2}-16=0$, значит

$$(x+3)^{2}+(a-4)^{2}=25.$$

Это окружность с центром $(-3;4)$ и тем же радиусом $5$; от неё берём часть в полуплоскости $a\gt 7x$ — и снова бо́льшую дугу, так как $4\gt -21$.

Посмотрим, где окружности встречают граничную прямую $a=7x$. Подставим $a=7x$ в первое уравнение: $x^{2}-8x+49x^{2}-42x=50x^{2}-50x=0$, откуда $x=0$ или $x=1$. Во второе: $x^{2}+6x+49x^{2}-56x=50x^{2}-50x=0$ — те же значения. Значит, обе дуги стыкуются в одних и тех же точках $(0;0)$ и $(1;7)$ и вместе образуют одну замкнутую линию.

Важно запомнить высоты этих стыков: $a=0$ и $a=7$. Именно между ними прямая $a=7x$ отрезает у каждой окружности по одной точке.

Отметим также, на каких высотах окружности вообще существуют. У первой центр на высоте $3$ и радиус $5$, поэтому она живёт при $-2\leq a\leq 8$. У второй центр на высоте $4$, поэтому она живёт при $-1\leq a\leq 9$.

Теперь просто пробегаем уровни снизу вверх. При $a\lt -2$ точек нет, при $a=-2$ ровно одна (самый низ первой окружности).

При $-2\lt a\lt -1$ работает только первая окружность, и обе её точки на этом уровне сохраняются (мы ниже стыка $a=0$, там прямая ничего не режет). Ровно два корня — подходит.

При $-1\lt a\lt 0$ включается и вторая окружность, тоже двумя точками: всего четыре — много. На самих уровнях $a=-1$ и $a=0$ точек оказывается по три.

При $0\lt a\lt 7$ мы между стыками: у каждой окружности одна из двух точек отрезана прямой, остаётся по одной. Ровно два корня — подходит.

При $7\lt a\lt 8$ обе окружности снова дают по две точки — четыре, много; на уровнях $a=7$ и $a=8$ точек три.

При $8\lt a\lt 9$ первая окружность уже закончилась, а вторая даёт две точки — ровно два корня, подходит. На уровне $a=9$ точка одна, выше точек нет.

Проверим себя на $a=1$: уравнение принимает вид $x^{2}-x-6=|7x-1|$. При $7x\geq 1$ получаем $x^{2}-8x-5=0$ и корни $4\pm\sqrt{21}$, из которых условию удовлетворяет только $4+\sqrt{21}$. При $7x\lt 1$ получаем $x^{2}+6x-7=0$ и корни $1$ и $-7$, из которых подходит только $-7$. Итого два корня — всё сходится.