Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x в…

Здесь и x, и a входят во вторых степенях, а мешает всему модуль. Выбираем графический метод в координатах (x;a): считаем параметр второй координатой, рисуем на плоскости множество всех пар, удовлетворяющих уравнению, а потом смотрим, сколько точек этого множества лежит на горизонтальной прямой «a равно данному числу». Метод выбран потому, что после раскрытия модуля в каждом случае получается уравнение окружности, а пересекать окружность прямой — дело простое.

Модуль раскрываем по знаку выражения под ним, то есть по знаку 7x-a.

Случай 1 — когда 7x-a\geq 0. Тогда |7x-a|=7x-a, и уравнение принимает вид x^{2}+a^{2}-x-7a=7x-a, то есть x^{2}-8x+a^{2}-6a=0. Выделим полные квадраты: (x-4)^{2}-16+(a-3)^{2}-9=0, значит

(x-4)^{2}+(a-3)^{2}=25.

Это окружность с центром (4;3) и радиусом 5; берём только ту её часть, что лежит в полуплоскости a\leq 7x. Центр там и лежит, ведь 3\leq 28, поэтому остаётся бо́льшая дуга.

Случай 2 — когда 7x-a\lt 0. Тогда |7x-a|=-(7x-a), и уравнение превращается в x^{2}+a^{2}-x-7a=-7x+a, то есть x^{2}+6x+a^{2}-8a=0. Снова выделяем квадраты: (x+3)^{2}-9+(a-4)^{2}-16=0, значит

(x+3)^{2}+(a-4)^{2}=25.

Это окружность с центром (-3;4) и тем же радиусом 5; от неё берём часть в полуплоскости a\gt 7x — и снова бо́льшую дугу, так как 4\gt -21.

Посмотрим, где окружности встречают граничную прямую a=7x. Подставим a=7x в первое уравнение: x^{2}-8x+49x^{2}-42x=50x^{2}-50x=0, откуда x=0 или x=1. Во второе: x^{2}+6x+49x^{2}-56x=50x^{2}-50x=0 — те же значения. Значит, обе дуги стыкуются в одних и тех же точках (0;0) и (1;7) и вместе образуют одну замкнутую линию.

Важно запомнить высоты этих стыков: a=0 и a=7. Именно между ними прямая a=7x отрезает у каждой окружности по одной точке.

Отметим также, на каких высотах окружности вообще существуют. У первой центр на высоте 3 и радиус 5, поэтому она живёт при -2\leq a\leq 8. У второй центр на высоте 4, поэтому она живёт при -1\leq a\leq 9.

Теперь просто пробегаем уровни снизу вверх. При a\lt -2 точек нет, при a=-2 ровно одна (самый низ первой окружности).

При -2\lt a\lt -1 работает только первая окружность, и обе её точки на этом уровне сохраняются (мы ниже стыка a=0, там прямая ничего не режет). Ровно два корня — подходит.

При -1\lt a\lt 0 включается и вторая окружность, тоже двумя точками: всего четыре — много. На самих уровнях a=-1 и a=0 точек оказывается по три.

При 0\lt a\lt 7 мы между стыками: у каждой окружности одна из двух точек отрезана прямой, остаётся по одной. Ровно два корня — подходит.

При 7\lt a\lt 8 обе окружности снова дают по две точки — четыре, много; на уровнях a=7 и a=8 точек три.

При 8\lt a\lt 9 первая окружность уже закончилась, а вторая даёт две точки — ровно два корня, подходит. На уровне a=9 точка одна, выше точек нет.

Проверим себя на a=1: уравнение принимает вид x^{2}-x-6=|7x-1|. При 7x\geq 1 получаем x^{2}-8x-5=0 и корни 4\pm\sqrt{21}, из которых условию удовлетворяет только 4+\sqrt{21}. При 7x\lt 1 получаем x^{2}+6x-7=0 и корни 1 и -7, из которых подходит только -7. Итого два корня — всё сходится.