Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043799

Здесь слева сумма двух модулей, справа — линейное выражение. Модули мешают, поэтому разрежем ось точками, где выражения под модулями равны нулю. На каждом куске уравнение станет линейным: найдём его корень и проверим, лежит ли он на своём куске. Останется сосчитать, сколько корней «прижилось».

Шаг 1. Участки. $2x-3a=0$ при $x=1{,}5a$, $x+a=0$ при $x=-a$. При $a\lt0$ получаем $1{,}5a\lt0\lt-a$, так что участков три: $x\le1{,}5a$, $1{,}5a\le x\le-a$, $x\ge-a$.

Шаг 2. Левый участок $x\le1{,}5a$. Здесь $2x-3a\le0$ и $x+a\lt0$, поэтому $|2x-3a|=3a-2x$, $|x+a|=-x-a$, а сумма модулей равна $-3x+2a$. Уравнение $-3x+2a=ax+0{,}5$ даёт $-(3+a)x=0{,}5-2a$.

При $a=-3$ получаем $0\cdot x=6{,}5$ — корней нет. При $a\ne-3$: $x_1=\dfrac{2a-0{,}5}{3+a}$.

Условие $x_1\le1{,}5a$. Если $a\lt-3$, знаменатель $3+a$ отрицателен, и при умножении на него знак меняется: $2a-0{,}5\ge1{,}5a(3+a)$, то есть $1{,}5a^2+2{,}5a+0{,}5\le0$, или $3a^2+5a+1\le0$. Но при $a\lt-3$ имеем $3a^2+5a=a(3a+5)\gt0$, так что $3a^2+5a+1\gt0$ — корня на участке нет.

Если $-3\lt a\lt0$, знаменатель положителен: $2a-0{,}5\le4{,}5a+1{,}5a^2$, то есть $3a^2+5a+1\ge0$.

Шаг 3. Средний участок $1{,}5a\le x\le-a$. Здесь $|2x-3a|=2x-3a$, $|x+a|=-x-a$, сумма равна $x-4a$. Уравнение $x-4a=ax+0{,}5$ даёт $(1-a)x=4a+0{,}5$, $x_2=\dfrac{4a+0{,}5}{1-a}$ (знаменатель $1-a\gt0$).

Условие $x_2\ge1{,}5a$: $4a+0{,}5\ge1{,}5a-1{,}5a^2$, то есть то же условие $3a^2+5a+1\ge0$, что и для левого участка. Условие $x_2\le-a$: $4a+0{,}5\le-a+a^2$, то есть $a^2-5a-0{,}5\ge0$. Корни трёхчлена $a^2-5a-0{,}5$: $a=\dfrac{5\pm\sqrt{27}}{2}$, отрицательный из них $a_0=\dfrac{5-\sqrt{27}}{2}\approx-0{,}098$. При $a\lt0$ условие означает $a\le a_0$.

Шаг 4. Правый участок $x\ge-a$. Сумма модулей равна $3x-2a$. Уравнение $3x-2a=ax+0{,}5$ даёт $x_3=\dfrac{2a+0{,}5}{3-a}$. Условие $x_3\ge-a$: $2a+0{,}5\ge-3a+a^2$, то есть $a^2-5a-0{,}5\le0$; при $a\lt0$ это $a\ge a_0$.

Средний и правый куски вместе дают не больше одного корня: справа от нижней точки ломаная растёт, а прямая $y=ax+0{,}5$ при $a\lt0$ убывает. В формулах это видно так же: при $a\lt a_0$ годится только $x_2$, при $a\gt a_0$ — только $x_3$, а при $a=a_0$ они совпадают в точке $x=-a$.

Шаг 5. Подсчёт. Корни трёхчлена $3a^2+5a+1$: $a=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-12}}{6}=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$, то есть $a_1\approx-1{,}43$ и $a_2\approx-0{,}23$. Трёхчлен положителен при $a\lt a_1$ и при $a\gt a_2$.

— $a\le-3$: левого корня нет; $3a^2+5a+1\gt0$ и $a\lt a_0$, поэтому есть $x_2$. Один корень.

— $-3\lt a\lt a_1$ или $a_2\lt a\lt0$: есть $x_1$, и есть ровно один из $x_2$, $x_3$ (при $a\le a_0$ — $x_2$, ведь $3a^2+5a+1\gt0$; при $a\gt a_0$ — $x_3$). При этом $x_1\lt1{,}5a$ строго, а $x_2$, $x_3$ не левее $1{,}5a$, так что корни различны. Два корня.

— $a=a_1$ или $a=a_2$: $x_1=x_2=1{,}5a$ — это одна точка, а $x_3$ нет, так как $a_1,a_2\lt a_0$. Один корень.

— $a_1\lt a\lt a_2$: $3a^2+5a+1\lt0$, поэтому нет ни $x_1$, ни $x_2$; нет и $x_3$, ведь $a\lt a_2\lt a_0$. Корней нет.

Ровно два различных корня: $-3\lt a\lt\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}$ или $\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}\lt a\lt0$.

Проверим $a=-2$: уравнение $|2x+6|+|x-2|=-2x+0{,}5$. При $x\le-3$: $-3x-4=-2x+0{,}5$, $x=-4{,}5$ — подходит. При $-3\le x\le2$: $x+8=-2x+0{,}5$, $x=-2{,}5$ — подходит. При $x\ge2$: $3x+4=-2x+0{,}5$, $x=-0{,}7$ — не подходит. Два корня. Проверим $a=-1$: $x_1=\dfrac{-2{,}5}{2}=-1{,}25\gt-1{,}5$, $x_2=\dfrac{-3{,}5}{2}=-1{,}75\lt-1{,}5$, $x_3=\dfrac{-1{,}5}{4}\lt1$ — ни один не на своём участке, корней нет.