Задание 19 ЕГЭ по математике №00043824

Здесь первое уравнение после раскрытия модулей распадается на квадрат, отрезки и полуокружности. Нарисуем эту фигуру и найдём, при каких наклонах прямая $ay=x+5$ задевает её в одной или двух точках.

Шаг 1. Убираем модули. $|x-1|+|x+1|=2$ при $|x|\le1$ и $2|x|$ при $|x|\ge1$, то есть $2X$, где $X=\max(|x|;1)$. Аналогично $|y-1|+|y+1|=2Y$, $Y=\max(|y|;1)$. Уравнение: $(2X-4)^2+(2Y-2)^2=4$, то есть $(X-2)^2+(Y-1)^2=1$. Сразу видно, что $Y-1\ge0$ и обе скобки по модулю не больше $1$, поэтому вся фигура лежит в прямоугольнике $|x|\le3$, $|y|\le2$.

Шаг 2. Множество.

— Квадрат $|x|\le1$, $|y|\le1$: $X=Y=1$, $1+0=1$ — выполнено везде; весь квадрат входит в множество.

— $|x|\ge1$, $|y|\le1$: $(|x|-2)^2=1$, $|x|=3$ (или $1$) — отрезки $x=\pm3$, $|y|\le1$.

— $|x|\le1$, $|y|\ge1$: $1+(|y|-1)^2=1$, $|y|=1$ — только край квадрата.

— $|x|\ge1$, $|y|\ge1$: полуокружности радиуса $1$ с центрами $(\pm2;\pm1)$, например верхняя правая — от $(1;1)$ через $(2;2)$ до $(3;1)$.

Шаг 3. Прямые $ay=x+5$ проходят через $(-5;0)$. При $a=0$ — прямая $x=-5$, решений нет. Пусть $a\gt0$, тогда $y=k(x+5)$, $k=\dfrac1a\gt0$. Найдём пороги для $k$.

— Касание с левой верхней полуокружностью (центр $C_1(-2;1)$, радиус $1$). От $P(-5;0)$ до центра: $PC_1=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$, наклон отрезка $PC_1$ равен $\operatorname{tg}\theta=\dfrac13$. Длина касательной $\sqrt{10-1}=3$, поэтому касательная образует с $PC_1$ угол $\alpha$, где $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac13$ (прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $3$). Верхняя касательная: $k=\operatorname{tg}(\theta+\alpha)=\dfrac{\frac13+\frac13}{1-\frac19}=\dfrac{2/3}{8/9}=\dfrac34$. Точка касания $(-2{,}6;1{,}8)$ лежит на верхней дуге.

— Прохождение через $(-3;1)$ — конец дуги и отрезка: $2k=1$, $k=\dfrac12$.

— Касание с правой верхней полуокружностью (центр $C_2(2;1)$): $PC_2=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$, $\operatorname{tg}\theta=\dfrac17$, длина касательной $\sqrt{50-1}=7$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac17$. Тогда $k=\operatorname{tg}(\theta+\alpha)=\dfrac{\frac27}{1-\frac1{49}}=\dfrac27\cdot\dfrac{49}{48}=\dfrac{7}{24}$.

— Прохождение через угол квадрата $(-1;1)$: $4k=1$, $k=\dfrac14$.

Шаг 4. Подсчёт при $k\gt0$.

— $k\gt\dfrac34$: общих точек нет. $k=\dfrac34$: касание — одно решение; правее прямая уходит выше $y=2$.

— $\dfrac12\le k\lt\dfrac34$: две точки на левой верхней дуге (при $k=\dfrac12$ одна из них — $(-3;1)$), над квадратом и правыми дугами прямая проходит выше ($4k\gt1$, $7k\gt2$). Два решения.

— $\dfrac7{24}\lt k\lt\dfrac12$: прямая пересекает отрезок $x=-3$ ($y=2k\lt1$), затем выходит через левую верхнюю дугу; над квадратом она выше ($4k\gt1$), правую дугу не достаёт. Два решения.

— $k=\dfrac7{24}$: добавляется касание справа — три решения. $k\lt\dfrac7{24}$: четыре решения или (при $k\lt\dfrac14$) бесконечно много.

Одно или два решения: $\dfrac7{24}\lt k\le\dfrac34$, то есть $\dfrac43\le a\lt\dfrac{24}{7}$.

Шаг 5. $a\lt0$ — симметрия относительно оси $Ox$: $-\dfrac{24}{7}\lt a\le-\dfrac43$.

Проверим $a=2$ ($k=0{,}5$): прямая $y=\dfrac{x+5}{2}$ проходит через $(-3;1)$ и пересекает окружность $(x+2)^2+(y-1)^2=1$ ещё в точке $x=-1{,}4$, $y=1{,}8$ — два решения.