Задание 19 ЕГЭ по математике №00043815

Шаг 1. Подставим $y=4x+a$. Подкоренное выражение: $y-3x+9=x+a+9$; корень определён при $x\ge x_0$, где $x_0=-a-9$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой определён:

— корень равен нулю: $x=x_0$ — это решение при любом $a$;

— первый множитель равен нулю: $x(4x+a)-3x+9=0$, то есть $f(x)=4x^2+(a-3)x+9=0$, при $x\ge x_0$. Значение $x=x_0$ уже учтено, поэтому нужны корни $f$ с $x\gt x_0$.

Ровно два решения — когда у $f$ ровно один корень строго правее $x_0$.

Шаг 2. Дискриминант. $D=(a-3)^2-144\ge0\iff|a-3|\ge12\iff a\le-9$ или $a\ge15$.

Шаг 3. Значение в $x_0$.

$$f(x_0)=4(a+9)^2-(a-3)(a+9)+9=(a+9)(3a+39)+9=3a^2+66a+360=3(a+10)(a+12).$$

Вершина параболы $x_v=\dfrac{3-a}{8}$; $x_v\gt x_0\iff3-a\gt-8a-72\iff a\gt-\dfrac{75}{7}\approx-10{,}7$.

Шаг 4. Случаи.

— $a=15$: кратный корень $x=-1{,}5\gt x_0=-24$ — всего два решения.

— $a\gt15$: $f(x_0)\gt0$ и $x_v\gt x_0$ — оба корня правее $x_0$, решений три.

— $a=-9$: кратный корень $x=1{,}5\gt x_0=0$ — два решения.

— $a\lt-9$, два различных корня. Если $f(x_0)\lt0$, то есть $-12\lt a\lt-10$, точка $x_0$ между корнями — правее ровно один, решений два.

— $a=-10$: $x_0=1$, $f(x)=4x^2-13x+9$, корни $1$ и $\dfrac94$; правее $x_0$ один — два решения.

— $a=-12$: $x_0=3$, $f(x)=4x^2-15x+9$, корни $3$ и $\dfrac34$; правее никого — одно решение.

— $-10\lt a\lt-9$: $f(x_0)\gt0$, $x_v\gt x_0$ — оба корня правее, три решения.

— $a\lt-12$: $f(x_0)\gt0$, $x_v\lt x_0$ — оба левее, одно решение.

Ответ складывается из $(-12;-10]$, $\{-9\}$ и $\{15\}$.

Проверим $a=-11$: $x_0=2$, $f(x)=4x^2-14x+9$, корни $\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{4}\approx0{,}85$ и $2{,}65$; правее $2$ один. Решений два: $x=2$ и $x\approx2{,}65$.