Задание 19 ЕГЭ по математике №00043812

Здесь первое неравенство задаёт круг, а второе — полуплоскость. Решения системы — их общие точки. Единственная общая точка бывает только в особых случаях, и их нужно аккуратно перебрать.

Шаг 1. Первое неравенство — круг с центром $Q(-2a;a)$ и радиусом $\sqrt{5-a}$. При $a\gt5$ решений нет, при $a=5$ круг вырождается в точку.

Шаг 2. $a=5$. Точка $(-10;5)$: $x+y=-5\le|5+2|=7$ — верно. Решение единственное.

Шаг 3. $a\lt5$. Круг положительного радиуса, полуплоскость $x+y\le c$, где $c=|a+2|$. Если центр лежит в полуплоскости, то вместе с ним в ней лежит и маленький круг вокруг центра — общих точек бесконечно много. Единственная общая точка возможна лишь при касании, когда центр вне полуплоскости, а наименьшее значение $x+y$ на круге равно $c$.

В центре $x+y=-2a+a=-a$. Значит, центр лежит вне полуплоскости, когда $-a\gt|a+2|$.

Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $x+y-c=0$ равно $\dfrac{|x_0+y_0-c|}{\sqrt{1^2+1^2}}$. Для центра $Q$ это $\dfrac{|-a-|a+2||}{\sqrt2}$. Касание — когда расстояние равно радиусу:

$$\dfrac{|-a-|a+2||}{\sqrt2}=\sqrt{5-a}\iff\left(a+|a+2|\right)^2=2(5-a)=10-2a.$$

— $a\ge-2$: $|a+2|=a+2$, и $(2a+2)^2=10-2a$, то есть $4a^2+8a+4=10-2a$, $4a^2+10a-6=0$, $2a^2+5a-3=0$. Дискриминант $25+24=49$, корни $a=\dfrac{-5\pm7}{4}$: $a=0{,}5$ или $a=-3$. Условию $a\ge-2$ отвечает только $a=0{,}5$.

— $a\lt-2$: $|a+2|=-a-2$, и $(a-a-2)^2=10-2a$, то есть $4=10-2a$, $a=3$ — противоречит $a\lt-2$.

Проверим сторону центра для $a=0{,}5$: $-a=-0{,}5$, $|a+2|=2{,}5$, и $-0{,}5\lt2{,}5$. Центр лежит в полуплоскости — это касание изнутри, а не снаружи, и общих точек бесконечно много. Касаний снаружи нет, значит, при $a\lt5$ решений либо нет, либо бесконечно много.

Итак, подходит только $a=5$.

Проверим себя на соседнем значении. При $a=4{,}9$ центр $(-9{,}8;4{,}9)$, в нём $x+y=-4{,}9\le|4{,}9+2|=6{,}9$ — центр в полуплоскости, а радиус $\sqrt{0{,}1}\gt0$. Решений бесконечно много, как и должно быть. При $a=5{,}1$ правая часть первого неравенства отрицательна — решений нет. Единственное решение только при $a=5$: точка $(-10;5)$.

Почему не подходит $a=0{,}5$. Круг $(x+1)^2+(y-0{,}5)^2\le4{,}5$, полуплоскость $x+y\le2{,}5$. В центре $x+y=-0{,}5\lt2{,}5$ — центр внутри полуплоскости. Расстояние от центра до прямой $\dfrac{3}{\sqrt2}=\sqrt{4{,}5}$ — круг касается границы изнутри и целиком лежит в полуплоскости: решений бесконечно много. Значение $0{,}5$ дало бы единственное решение при обратном знаке неравенства, $x+y\ge|a+2|$.