Задание 19 ЕГЭ по математике №00043820

Здесь первое уравнение выглядит страшно из-за модулей, но после их раскрытия распадается на прямоугольник, отрезки и дуги окружностей. Нарисуем эту фигуру, а потом посмотрим, как её пересекают прямые $y=ax+8$.

Шаг 1. Сумма $|x-1|+|x+1|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $1$ и $-1$ на числовой прямой. Если $x$ между ними, сумма равна расстоянию между ними, то есть $2$. Если снаружи, например $x\gt1$, то $(x-1)+(x+1)=2x$. Поэтому $\dfrac{|x-1|+|x+1|}{2}=X=\max(|x|;1)$. Так же $\dfrac{|y-7|+|y+7|}{2}=Y=\max(|y|;7)$. Первое уравнение: $(X-7)^2+(Y+1)^2=100$.

Шаг 2. Девять частей. Прямые $x=\pm1$ и $y=\pm7$ делят плоскость на части, в каждой уравнение записывается без модулей.

— $|x|\le1$, $|y|\le7$: $36+64=100$ — выполнено везде. Прямоугольник $[-1;1]\times[-7;7]$ целиком входит в множество.

— $x\ge1$, $|y|\le7$: $(x-7)^2=36$, $x=13$ (или $x=1$). Отрезок $x=13$, $|y|\le7$; слева — симметричный $x=-13$.

— $|x|\le1$, $|y|\ge7$: $36+(|y|+1)^2=100$, $|y|=7$ — только край прямоугольника.

— $x\ge1$, $y\ge7$: $(x-7)^2+(y+1)^2=100$ — дуга окружности с центром $(7;-1)$ радиуса $10$ от $(1;7)$ через $(7;9)$ до $(13;7)$. Аналогично остальные три четверти.

Справа и слева от прямоугольника — по замкнутому «овалу» из двух дуг и отрезка, примыкающему к прямоугольнику.

Шаг 3. Прямые $y=ax+8$ проходят через точку $(0;8)$ чуть выше прямоугольника. При $|a|\gt1$ прямая на одной из прямых $x=\pm1$ опускается ниже $7$ и проходит через внутренность прямоугольника — решений бесконечно много. При $a=1$ она касается прямоугольника в углу $(-1;7)$.

Шаг 4. $0\le a\le1$.

Слева ($x\lt0$): в точке $x=-1$ прямая выше дуги ($8-a\ge7$), а при $x=-7$ ниже вершины дуги ($8-7a\lt9$). Прямая входит в левый овал через верхнюю дугу и выходит из него (через дугу, отрезок $x=-13$ или нижнюю дугу) — ровно две точки. При $a=1$ вход — это угол $(-1;7)$, выход — отрезок $x=-13$ в точке $y=-5$: тоже две.

Справа ($x\gt0$): прямая поднимается от уровня $8$, отрезка $x=13$ не достаёт ($8+13a\gt7$). Остаётся верхняя дуга окружности $(x-7)^2+(y+1)^2=100$. Подставим $y=ax+8$:

$$(x-7)^2+(ax+9)^2=100\iff(1+a^2)x^2+(18a-14)x+30=0,\qquad\dfrac D4=(9a-7)^2-30(1+a^2)=51a^2-126a+19.$$

$\dfrac D4=0$ при $a=\dfrac{63\pm10\sqrt{30}}{51}$. Нужен меньший корень $a_0=\dfrac{63-10\sqrt{30}}{51}\approx0{,}161$: точка касания $\approx(5{,}41;8{,}87)$ лежит на верхней правой дуге. Больший корень $\approx2{,}31$ даёт касание с продолжением окружности, а не с дугой, и к тому же при нём прямая проходит через прямоугольник. Заметим: уже при $a\gt\dfrac17\approx0{,}143$ прямая проходит выше верхней точки дуги $(7;9)$, но до $a_0$ всё ещё пересекает дугу дважды (например, при $a=0{,}15$ точки $x\approx4{,}43$ и $x\approx6{,}62$). Поэтому сравнивать надо по дискриминанту, а не с вершиной.

При $0\le a\lt a_0$ прямая пересекает правую дугу дважды — всего четыре решения; при $a=a_0$ — три; при $a_0\lt a\le1$ справа нет точек — всего два.

Шаг 5. $a\lt0$ — симметрично относительно оси $Oy$: $-1\le a\lt-a_0$, и $-a_0=\dfrac{10\sqrt{30}-63}{51}$.

Проверим $a=0{,}5$: справа прямая $y=0{,}5x+8$ при $x=7$ равна $11{,}5$, выше вершины дуги $9$, а расстояние от центра $(7;-1)$ до прямой $\dfrac{|3{,}5+1+8|}{\sqrt{1{,}25}}\approx11{,}2\gt10$ — справа общих точек нет. Слева расстояние от центра $(-7;-1)$ равно $\dfrac{|-3{,}5+1+8|}{\sqrt{1{,}25}}\approx4{,}9\lt10$ — прямая пересекает левый овал. Решений два.