Задание 19 ЕГЭ по математике №00043814

Здесь равенство двух корней сразу даёт простую связь между $x$ и $y$, а второе уравнение содержит $|x|$. Поэтому удобно перейти к одной переменной $t=|x|$ и посчитать, сколько точек остаётся при разных $a$.

Шаг 1. Равенство корней означает $a+x^2=a+y^2\ge0$, то есть $y=\pm x$ и $x^2\ge-a$.

Шаг 2. Второе уравнение не меняется при замене $x$ на $-x$, поэтому решения идут парами $(\pm x;y)$. Обозначим $t=|x|\ge0$. Из первого шага $y^2=x^2=t^2$; подставим во второе уравнение:

$$t^2+t^2=4t-4y+16\iff 4y=16+4t-2t^2\iff y=4+t-\dfrac{t^2}{2}.$$

Шаг 3. Вспомним, что $y=t$ или $y=-t$.

— $y=t$: $t=4+t-\dfrac{t^2}{2}\iff t^2=8$, $t=2\sqrt2$. Точки $(\pm2\sqrt2;2\sqrt2)$.

— $y=-t$: $-t=4+t-\dfrac{t^2}{2}\iff t^2-4t-8=0\iff t=2\pm2\sqrt3$; при $t\ge0$ подходит $t=2+2\sqrt3$. Точки $(\pm(2+2\sqrt3);-2-2\sqrt3)$.

Значение $t=0$ не подходит: тогда $y=\pm t=0$, а формула даёт $y=4$. Каждое $t\gt0$ даёт два решения $x=\pm t$, так что всего точек четыре. Проверим одну: $(2\sqrt2;2\sqrt2)$: $8+8=16$ и $4\cdot2\sqrt2-8\sqrt2+16=16$ — верно.

Шаг 4. Условие $x^2\ge-a$. Пары точек: с $x^2=8$ и с $x^2=(2+2\sqrt3)^2=16+8\sqrt3$. Ровно два решения, когда годится только вторая пара:

$$8\lt-a\le16+8\sqrt3\iff -16-8\sqrt3\le a\lt-8.$$

Проверка: при $a=0$ годятся все четыре точки — решений четыре, и $0$ в ответ не входит. Согласуется.