Задание 19 ЕГЭ по математике №00043811

Шаг 1. Первое неравенство задаёт круг с центром $Q(a;-a)$ и радиусом $\sqrt{a+3}$. При $a\lt-3$ решений нет, при $a=-3$ круг вырождается в точку $(-3;3)$.

Шаг 2. $a=-3$. Проверяем второе неравенство: $x-y=-6\le|3+6|=9$ — верно. Решение единственное. Подходит.

Шаг 3. $a\gt-3$. Круг положительного радиуса. Второе неравенство — полуплоскость $x-y\le c$, $c=|3-2a|\ge0$. Общая точка у круга и полуплоскости одна только тогда, когда круг лежит по другую сторону от граничной прямой и касается её. Иначе общих точек нет или бесконечно много.

Значит, наименьшее значение $x-y$ на круге должно равняться $c$. Величина $x-y$ быстрее всего убывает в направлении вектора $(-1;1)$; сдвинувшись от центра на радиус в этом направлении, получим

$$\min(x-y)=(a-(-a))-\sqrt2\cdot\sqrt{a+3}=2a-\sqrt{2a+6}.$$

Условие: $2a-\sqrt{2a+6}=|3-2a|$.

Шаг 4. Раскрываем модуль.

— $a\ge1{,}5$: $2a-\sqrt{2a+6}=2a-3$, $\sqrt{2a+6}=3$, $a=1{,}5$ — подходит.

— $-3\lt a\lt1{,}5$: $2a-\sqrt{2a+6}=3-2a$, $\sqrt{2a+6}=4a-3$. Нужно $4a-3\ge0$. Возводим в квадрат: $2a+6=16a^2-24a+9$, $16a^2-26a+3=0$, $a=\dfrac{26\pm22}{32}$, то есть $a=1{,}5$ или $a=\dfrac18$. Первый вне промежутка, второй посторонний: $4\cdot\dfrac18-3\lt0$.

Итак, $a=-3$ и $a=1{,}5$.

Проверим $a=1{,}5$: круг $(x-1{,}5)^2+(y+1{,}5)^2\le4{,}5$, полуплоскость $x-y\le0$. Центр даёт $x-y=3$, расстояние от центра до прямой $x-y=0$ равно $\dfrac{3}{\sqrt2}=\sqrt{4{,}5}$ — касание снаружи, общая точка $(0;0)$ единственная.