Задание 19 ЕГЭ по математике №00043813

Шаг 1. Первое уравнение. Квадратные корни равны, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны: $a+x^2=a+y^2\ge0$. Значит, $y^2=x^2$, то есть $y=x$ или $y=-x$, и $x^2\ge-a$.

Шаг 2. Второе уравнение. $x^2-2x+y^2-2|y|=4$. При $y\ge0$: $(x-1)^2+(y-1)^2=6$; при $y\lt0$: $(x-1)^2+(y+1)^2=6$ — дуги двух окружностей.

Шаг 3. Пересечения с прямыми $y=\pm x$.

— $y=x\ge0$: $2(x-1)^2=6$, $x=1\pm\sqrt3$; подходит $x=1+\sqrt3$ (нужно $y\ge0$). Точка $(1+\sqrt3;1+\sqrt3)$.

— $y=x\lt0$: $(x-1)^2+(x+1)^2=6$, $x^2=2$, подходит $x=-\sqrt2$. Точка $(-\sqrt2;-\sqrt2)$.

— $y=-x\ge0$, то есть $x\le0$: $(x-1)^2+(-x-1)^2=6$, $x^2=2$, $x=-\sqrt2$. Точка $(-\sqrt2;\sqrt2)$.

— $y=-x\lt0$, то есть $x\gt0$: $(x-1)^2+(-x+1)^2=6$, $x=1+\sqrt3$. Точка $(1+\sqrt3;-1-\sqrt3)$.

Четыре точки разбиваются на две пары с одинаковым $x^2$: $x^2=(1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3$ и $x^2=2$.

Шаг 4. Условие $x^2\ge-a$. Каждая пара остаётся или исчезает целиком.

— Если $-a\le2$, годятся все четыре точки.

— Если $2\lt-a\le4+2\sqrt3$, годится только пара с $x^2=4+2\sqrt3$ — ровно два решения.

— Если $-a\gt4+2\sqrt3$, решений нет.

Значит, $-4-2\sqrt3\le a\lt-2$. При $a=-4-2\sqrt3$ подкоренное выражение для нужной пары равно нулю — корень существует, решения законны.

Проверим точку $(-\sqrt2;\sqrt2)$ во втором уравнении: $2+2=4$ и $2\cdot(-\sqrt2)+2\sqrt2+4=4$. Верно.