Задание 19 ЕГЭ по математике №00043819

Шаг 1. Убираем модули. Выражение $\dfrac{|x+4|+|x-4|}{2}$ равно $4$ при $|x|\le4$ и $|x|$ при $|x|\ge4$, то есть $X=\max(|x|;4)$. Аналогично $Y=\dfrac{|y+1|+|y-1|}{2}=\max(|y|;1)$. Первое уравнение: $(X-1)^2+(Y-5)^2=25$.

Шаг 2. Множество решений первого уравнения. Оно симметрично относительно обеих осей, рассмотрим $x\ge0$, $y$ любого знака.

— Прямоугольник $|x|\le4$, $|y|\le1$: $X=4$, $Y=1$, $9+16=25$ — уравнение выполнено во всех точках. Весь прямоугольник входит в множество.

— $|x|\le4$, $|y|\ge1$: $9+(|y|-5)^2=25$, $|y|=9$ (или $|y|=1$ — край прямоугольника). Отрезки $y=\pm9$, $|x|\le4$.

— $x\ge4$, $|y|\le1$: $(x-1)^2=9$, $x=4$ — только край прямоугольника.

— $x\ge4$, $|y|\ge1$: дуги окружностей $(x-1)^2+(|y|-5)^2=25$. В нижней четверти — дуга окружности с центром $(1;-5)$ радиуса $5$ от $(4;-1)$ через $(6;-5)$ до $(4;-9)$; в верхней — симметричная.

Получается заполненный прямоугольник и охватывающая его замкнутая линия из отрезков и дуг.

Шаг 3. Прямые $y=a(x-8)$. Все они проходят через точку $M(8;0)$. Прямая проходит через внутренность прямоугольника — решений бесконечно много — когда на прямой $x=4$ её ордината $-4a$ по модулю меньше $1$: $|a|\lt\dfrac14$. При $a=0$ — тоже бесконечно много.

Шаг 4. $a\gt0$. Прямая $y=a(x-8)$ при $x\lt8$ опускается.

— $a=\dfrac14$: прямая касается прямоугольника только в углу $(4;-1)$, дальше уходит внутрь замкнутой линии (ниже прямоугольника) и выходит через левую нижнюю дугу. Решений два.

— $\dfrac14\lt a\lt\dfrac{35}{12}$: прямая входит внутрь замкнутой линии через правую нижнюю дугу и выходит через нижний отрезок, левую дугу или ту же дугу. Прямоугольник она не задевает. Решений два.

— Касание с правой нижней дугой: расстояние от $(1;-5)$ до прямой $ax-y-8a=0$ равно $5$:

$$\dfrac{|5-7a|}{\sqrt{1+a^2}}=5\iff 49a^2-70a+25=25+25a^2\iff 24a^2=70a\iff a=\dfrac{35}{12}.$$

Точка касания $\left(8-\dfrac{84}{37};-\dfrac{245}{37}\right)\approx(5{,}73;-6{,}62)$ лежит на дуге. При $a=\dfrac{35}{12}$ на прямой $x=4$ ордината $\approx-11{,}7\lt-9$ — внутрь линия больше не заходит: решение одно. При $a\gt\dfrac{35}{12}$ общих точек нет.

Шаг 5. $a\lt0$. Картинка симметрична относительно оси $Ox$, а прямая с наклоном $a$ переходит в прямую с наклоном $-a$. Получаем $-\dfrac{35}{12}\lt a\le-\dfrac14$.

Проверим $a=1$: прямая $y=x-8$ пересекает дугу $(x-1)^2+(y+5)^2=25$ при $x\ge4$: $(x-1)^2+(x-3)^2=25$, $x=2+\sqrt{11{,}5}\approx5{,}39$; и нижний отрезок $y=-9$ при $x=-1$. Два решения.