Задание 19 ЕГЭ по математике №00043816

Здесь произведение равно нулю, а один из множителей — корень. Решим графически на плоскости $(x;y)$: сначала нарисуем множество первого уравнения, а потом будем двигать прямую второго уравнения.

Шаг 1. Множество первого уравнения. Корень определён в полуплоскости $y\ge4x-20$. Произведение равно нулю:

— на граничной прямой $y=4x-20$ (там корень равен нулю);

— на гиперболе $xy-4x+20=0$, то есть $y=4-\dfrac{20}{x}$, но только в её части, где $y\ge4x-20$.

Шаг 2. Какая часть гиперболы допустима. Найдём встречи гиперболы с граничной прямой: $4-\dfrac{20}{x}=4x-20\iff 4x^2-24x+20=0\iff x=1$ или $x=5$. Точки $(1;-16)$ и $(5;0)$.

При $x\gt0$ неравенство $4-\dfrac{20}{x}\ge4x-20$ после умножения на $x$ даёт $x^2-6x+5\le0$, то есть $1\le x\le5$. При $x\lt0$ знак меняется: $x^2-6x+5\ge0$ — верно всегда. Итак, допустимы: вся левая ветвь ($x\lt0$) и дуга правой ветви при $1\le x\le5$.

Шаг 3. Прямые $y=5x+a$. Они не параллельны граничной прямой и пересекают её ровно в одной точке — это одно решение при любом $a$. Нужна ещё ровно одна точка на допустимой части гиперболы, отличная от этой.

Пересечение с гиперболой: $5x+a=4-\dfrac{20}{x}\iff f(x)=5x^2+(a-4)x+20=0$.

Шаг 4. Касание. Прямая с наклоном $5$ касается гиперболы $y=4-\dfrac{20}{x}$ там, где наклон касательной (производная) $\dfrac{20}{x^2}$ равен $5$: $x^2=4$, $x=\pm2$. При $x=-2$: $y=4+10=14$, $a=y-5x=14+10=24$; точка на левой ветви, допустима — решений два. При $x=2$: $y=4-10=-6$, $a=-6-10=-16$; $x=2\in[1;5]$ — допустима, решений два. (То же даёт нулевой дискриминант: $(a-4)^2-400=0$.)

Шаг 5. Два различных корня. Произведение корней $f$ равно $4\gt0$ — корни одного знака.

— $a\gt24$: сумма корней $\dfrac{4-a}{5}\lt0$, оба на левой ветви — решений три.

— $a\lt-16$: оба корня положительны. Сколько из них в $[1;5]$, решает знак $f$ на концах: $f(1)=a+21$, $f(5)=5a+125$. Если $-25\lt a\lt-21$: $f(1)\lt0\lt f(5)$ — один корень в $(1;5)$, второй меньше $1$; решений два.

— $a=-21$: прямая проходит через $(1;-16)$ — точку и гиперболы, и граничной прямой; второй корень $x=4\in[1;5]$ — решений два.

— $a=-25$: прямая проходит через $(5;0)$, второй корень $x=0{,}8\lt1$ — недопустим; решение одно.

— $-21\lt a\lt-16$: оба корня в $(1;5)$ — решений три; $a\lt-25$: оба вне — одно.

Итого: $(-25;-21]\cup\{-16\}\cup\{24\}$.

Проверим $a=-23$: $5x^2-27x+20=0$, $x=\dfrac{27\pm\sqrt{329}}{10}\approx0{,}89$ и $4{,}51$; в $[1;5]$ одна, плюс точка на граничной прямой — два решения.