Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043823

Здесь слева полуокружность, а справа выражение с модулем, которое на двух участках задаёт разные прямые. Разберём участки $x\ge0$ и $x\lt0$ по отдельности и сложим число корней.

Шаг 1. Левая часть — верхняя полуокружность: $15-2x-x^2=16-(x+1)^2$, центр $(-1;0)$, радиус $4$, $x\in[-5;3]$.

Раскроем $|x|$ в правой части $3a|x|+a-3ax-x$:

— $x\ge0$: $3ax+a-3ax-x=a-x$ — прямая с наклоном $-1$;

— $x\lt0$: $-3ax+a-3ax-x=a(1-6x)-x$ — прямая, которая при любом $a$ проходит через точку $\left(\dfrac16;-\dfrac16\right)$ (там $1-6x=0$).

Обозначим полуокружность $s(x)$; разность $s-$(прямая) выпукла вверх на любом отрезке.

Шаг 2. Правый участок $[0;3]$: $s(x)=a-x$.

Касание прямой $x+y-a=0$ с окружностью: $\dfrac{|-1-a|}{\sqrt2}=4$, для верхней дуги $a=4\sqrt2-1\approx4{,}66$; точка касания $\left(2\sqrt2-1;2\sqrt2\right)$, $x\approx1{,}83$ — внутри $[0;3]$.

На концах: $s(0)-a=\sqrt{15}-a$, $s(3)-(a-3)=3-a$.

— $a\lt3$: разность положительна на обоих концах — корней нет.

— $a=3$: корень $x=3$; разность в нуле положительна — других корней нет. Один корень.

— $3\lt a\lt\sqrt{15}$: разность в нуле положительна, в $3$ отрицательна — один корень.

— $\sqrt{15}\le a\lt4\sqrt2-1$: прямая пересекает дугу дважды, обе точки на $[0;3]$ (при $a=\sqrt{15}$ одна из них $x=0$) — два корня.

— $a=4\sqrt2-1$: касание — один корень; $a\gt4\sqrt2-1$ — ни одного.

Шаг 3. Левый участок $[-5;0)$: $s(x)=a(1-6x)-x$. Здесь $1-6x\gt0$, поэтому выразим $a$:

$$a=f(x)=\dfrac{s(x)+x}{1-6x},\qquad x\in[-5;0).$$

Число корней на левом участке — это число точек, где $f(x)=a$. Докажем, что $f$ возрастает. Производная $f'=\dfrac{(s'+1)(1-6x)+6(s+x)}{(1-6x)^2}$, где $s'=\dfrac{-1-x}{s}$ (при $-5\lt x\lt0$, где $s\gt0$). Её числитель равен $\dfrac{(-1-x)(1-6x)+s+6s^2}{s}$. Подставим $s^2=15-2x-x^2$: $(-1-x)(1-6x)=-1+5x+6x^2$ и $6s^2=90-12x-6x^2$, их сумма $89-7x$. Числитель равен $\dfrac{89-7x+s}{s}\gt0$ при $x\lt0$. Значит, $f$ возрастает.

Значения на краях: $f(-5)=\dfrac{0-5}{31}=-\dfrac5{31}$, а при $x\to0$ значение $f(x)$ стремится к $\dfrac{\sqrt{15}}{1}=\sqrt{15}$. Поэтому на левом участке ровно один корень при $-\dfrac5{31}\le a\lt\sqrt{15}$ и ни одного при остальных $a$.

Шаг 4. Итог.

— $a\lt-\dfrac5{31}$: $0$; $-\dfrac5{31}\le a\lt3$: $1+0=1$;

— $a=3$ и $3\lt a\lt\sqrt{15}$: $1+1=2$; $\sqrt{15}\le a\lt4\sqrt2-1$: $0+2=2$;

— $a=4\sqrt2-1$: $1$; $a\gt4\sqrt2-1$: $0$.

Ровно один корень при $-\dfrac5{31}\le a\lt3$ и при $a=4\sqrt2-1$.

Проверим $a=0$: справа $\sqrt{15-2x-x^2}=-x$ при $x\ge0$ — только если $x=0$, но $\sqrt{15}\ne0$, корней нет; слева $\sqrt{15-2x-x^2}=-x$, $x\lt0$: $15-2x-x^2=x^2$, $x^2+x-7{,}5=0$, $x=\dfrac{-1-\sqrt{31}}{2}\approx-3{,}28\in[-5;0)$. Один корень.