Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042213

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Знаменатель — корень, поэтому нужно $10-x+a\gt 0$, то есть $x\lt a+10$.

Шаг 1. Раскладываем числитель. Подставим $x=\dfrac{a}{2}$:

$$2\cdot\dfrac{a^{3}}{8}-(a+20)\cdot\dfrac{a^{2}}{4}+2a(5+a)\cdot\dfrac{a}{2}-a^{3}=\dfrac{a^{3}}{4}-\dfrac{a^{3}}{4}-5a^{2}+5a^{2}+a^{3}-a^{3}=0.$$

Значит, числитель делится на $2x-a$. Сравнивая коэффициенты, получаем

$$2x^{3}-(a+20)x^{2}+2a(5+a)x-a^{3}=(2x-a)\left(x^{2}-10x+a^{2}\right).$$

Проверка раскрытием скобок: $2x^{3}-20x^{2}+2a^{2}x-ax^{2}+10ax-a^{3}$ — совпадает с числителем.

Шаг 2. Кандидаты в решения.

— $x=\dfrac{a}{2}$. Условие $\dfrac{a}{2}\lt a+10$ равносильно $a\gt -20$.

— Корни уравнения $x^{2}-10x+a^{2}=0$, то есть $(x-5)^{2}=25-a^{2}$: при $|a|\lt 5$ два корня $x_{1,2}=5\mp\sqrt{25-a^{2}}$, при $|a|=5$ один корень $x=5$, при $|a|\gt 5$ корней нет.

Шаг 3. Случай $|a|\gt 5$. Остаётся только $x=\dfrac{a}{2}$, он подходит при $a\gt -20$. Ровно одно решение при $-20\lt a\lt -5$ и при $a\gt 5$.

Шаг 4. Случай $a=\pm 5$. При $a=5$: кандидаты $\dfrac{5}{2}$ и $5$, ограничение $x\lt 15$ — подходят оба, решений два. При $a=-5$: кандидаты $-\dfrac{5}{2}$ и $5$, ограничение $x\lt 5$ — подходит только $-\dfrac{5}{2}$, решение одно.

Шаг 5. Случай $|a|\lt 5$. Тогда $a+10\gt 5$, и меньший корень $x_{1}=5-\sqrt{25-a^{2}}\lt 5$ всегда допустим. Больший корень допустим, если

$$5+\sqrt{25-a^{2}}\lt a+10\iff\sqrt{25-a^{2}}\lt a+5\iff 25-a^{2}\lt (a+5)^{2}\iff 2a(a+5)\gt 0.$$

Возводить в квадрат можно: обе части неотрицательны, ведь $a+5\gt 0$. При $-5\lt a\lt 5$ получаем $a\gt 0$.

Кандидат $x=\dfrac{a}{2}$ здесь тоже допустим. Он совпадает с корнем квадратного трёхчлена, если $\dfrac{a^{2}}{4}-5a+a^{2}=0$, то есть $\dfrac{5a^{2}}{4}=5a$, $a=0$ или $a=4$.

— $0\lt a\lt 5$: допустимы $x_{1}$, $x_{2}$ и $\dfrac{a}{2}$ — не меньше двух различных решений (при $a=4$: $\dfrac{a}{2}=x_{1}=2$, $x_{2}=8$).

— $-5\lt a\lt 0$: допустимы $x_{1}\gt 0$ и $\dfrac{a}{2}\lt 0$ — два различных решения.

— $a=0$: $x_{1}=0=\dfrac{a}{2}$, а $x_{2}=10$ недопустим ($10\lt 10$ неверно). Ровно одно решение $x=0$.

Шаг 6. Собираем: $-20\lt a\le -5$, $a=0$, $a\gt 5$.

Проверим себя. При $a=-20$: кандидат $x=-10$, а ограничение $x\lt -10$ — решений нет, граница не входит. При $a=6$: трёхчлен $x^{2}-10x+36$ корней не имеет, а $x=3\lt 16$ — одно решение.