Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028830

Неизвестное здесь $x$, параметр — буква $a$. Слева и справа стоит один и тот же множитель $\ln(x-a)$, и это подсказка, с чего начинать.

Метод назову словами: разложение на множители, а затем оценка знаков. Разложение — потому что общий множитель виден сразу и уравнение распадается на два простых. Оценка знаков нужна во второй части: там придётся сравнить величину, которая заведомо неотрицательна, с величиной, которая на нашем отрезке заведомо неположительна, — и такое сравнение решается почти без вычислений. Графики тут не нужны совсем.

Шаг 1. Область определения. Два требования.

Под квадратным корнем должно быть неотрицательное число: $x+2a\ge 0$.

Под логарифмом — строго положительное: $x-a\gt 0$.

Шаг 2. Раскладываем на множители. Перенесём всё влево и вынесем общий множитель за скобку:

$$\ln(x-a)\cdot\left(\sqrt{x+2a}-(x-1)\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель — при условии, что оба вообще существуют. Значит, корни бывают двух сортов.

Случай 1 — когда нулю равен логарифм: $\ln(x-a)=0$. Логарифм равен нулю, если под ним стоит единица: $x-a=1$, откуда $x=a+1$.

Случай 2 — когда нулю равна скобка: $\sqrt{x+2a}=x-1$.

Шаг 3. Разбираем случай 2 оценкой. Слева стоит арифметический квадратный корень — он никогда не бывает отрицательным, то есть $\sqrt{x+2a}\ge 0$. Справа стоит $x-1$, а на нашем отрезке $x\le 1$, значит $x-1\le 0$.

Получается, неотрицательное число равно неположительному. Такое возможно только в одном-единственном случае: когда обе части равны нулю. Отсюда сразу два требования: $x-1=0$, то есть $x=1$, и $x+2a=0$, то есть при $x=1$ выходит $1+2a=0$, откуда $a=-\dfrac{1}{2}$.

Проверим, что при $a=-\dfrac{1}{2}$ и $x=1$ всё в порядке с логарифмом: $x-a=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\gt 0$ — логарифм существует, значит произведение действительно определено и равно нулю. Итог: случай 2 даёт корень $x=1$ ровно при одном значении параметра $a=-\dfrac{1}{2}$, и ни при каком другом.

Шаг 4. Разбираем случай 1. Корень $x=a+1$ годится, только если выполнены три условия.

Первое — попадание на отрезок: $0\le a+1\le 1$, откуда $-1\le a\le 0$.

Второе — существование корня: $x+2a\ge 0$. Подставляем $x=a+1$: $a+1+2a\ge 0$, то есть $3a+1\ge 0$, откуда $a\ge -\dfrac{1}{3}$.

Третье — существование логарифма: $x-a\gt 0$. Подставляем: $a+1-a=1\gt 0$ — выполняется всегда, это условие бесплатное.

Пересекаем первые два: $-\dfrac{1}{3}\le a\le 0$ (условие $a\ge -1$ поглощается более сильным $a\ge -\dfrac{1}{3}$).

Шаг 5. Соединяем оба случая и считаем корни.

Заметим сначала, что найденные корни никогда не совпадают: случай 2 работает только при $a=-\dfrac{1}{2}$, а случай 1 — только при $a$ от $-\dfrac{1}{3}$ до $0$, и число $-\dfrac{1}{2}$ в этот промежуток не попадает (ведь $-0{,}5$ левее, чем $-0{,}333\ldots$).

При $a=-\dfrac{1}{2}$ работает только случай 2 и даёт один корень $x=1$ — подходит.

При $-\dfrac{1}{3}\le a\le 0$ работает только случай 1 и даёт один корень $x=a+1$ — подходит.

При всех остальных $a$ не работает ни один случай, корней на отрезке нет — не подходит.

Шаг 6. Собираем ответ: отдельная точка $a=-\dfrac{1}{2}$ и весь отрезок от $-\dfrac{1}{3}$ до $0$ вместе с концами.

Проверим себя на краю. Возьмём $a=-\dfrac{1}{3}$, тогда корень равен $x=a+1=\dfrac{2}{3}$. Подкоренное выражение: $\dfrac{2}{3}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0$, корень из нуля существует и равен нулю. Логарифм: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1$, и $\ln 1=0$. Слева получается $0\cdot 0=0$, справа $\left(\dfrac{2}{3}-1\right)\cdot 0=0$ — равенство верное. Корень настоящий, и он единственный. Сходится.

А при $a=0$ корень равен $x=1$; тогда слева $\sqrt{1}\cdot\ln 1=1\cdot 0=0$, справа $(1-1)\cdot\ln 1=0$ — тоже верно.