Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение корень…

Неизвестное здесь x, параметр — буква a. Слева и справа стоит один и тот же множитель \ln(x-a), и это подсказка, с чего начинать.

Метод назову словами: разложение на множители, а затем оценка знаков. Разложение — потому что общий множитель виден сразу и уравнение распадается на два простых. Оценка знаков нужна во второй части: там придётся сравнить величину, которая заведомо неотрицательна, с величиной, которая на нашем отрезке заведомо неположительна, — и такое сравнение решается почти без вычислений. Графики тут не нужны совсем.

Шаг 1. Область определения. Два требования.

Под квадратным корнем должно быть неотрицательное число: x+2a\ge 0.

Под логарифмом — строго положительное: x-a\gt 0.

Шаг 2. Раскладываем на множители. Перенесём всё влево и вынесем общий множитель за скобку:

\ln(x-a)\cdot\left(\sqrt{x+2a}-(x-1)\right)=0.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель — при условии, что оба вообще существуют. Значит, корни бывают двух сортов.

Случай 1 — когда нулю равен логарифм: \ln(x-a)=0. Логарифм равен нулю, если под ним стоит единица: x-a=1, откуда x=a+1.

Случай 2 — когда нулю равна скобка: \sqrt{x+2a}=x-1.

Шаг 3. Разбираем случай 2 оценкой. Слева стоит арифметический квадратный корень — он никогда не бывает отрицательным, то есть \sqrt{x+2a}\ge 0. Справа стоит x-1, а на нашем отрезке x\le 1, значит x-1\le 0.

Получается, неотрицательное число равно неположительному. Такое возможно только в одном-единственном случае: когда обе части равны нулю. Отсюда сразу два требования: x-1=0, то есть x=1, и x+2a=0, то есть при x=1 выходит 1+2a=0, откуда a=-\dfrac{1}{2}.

Проверим, что при a=-\dfrac{1}{2} и x=1 всё в порядке с логарифмом: x-a=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\gt 0 — логарифм существует, значит произведение действительно определено и равно нулю. Итог: случай 2 даёт корень x=1 ровно при одном значении параметра a=-\dfrac{1}{2}, и ни при каком другом.

Шаг 4. Разбираем случай 1. Корень x=a+1 годится, только если выполнены три условия.

Первое — попадание на отрезок: 0\le a+1\le 1, откуда -1\le a\le 0.

Второе — существование корня: x+2a\ge 0. Подставляем x=a+1: a+1+2a\ge 0, то есть 3a+1\ge 0, откуда a\ge -\dfrac{1}{3}.

Третье — существование логарифма: x-a\gt 0. Подставляем: a+1-a=1\gt 0 — выполняется всегда, это условие бесплатное.

Пересекаем первые два: -\dfrac{1}{3}\le a\le 0 (условие a\ge -1 поглощается более сильным a\ge -\dfrac{1}{3}).

Шаг 5. Соединяем оба случая и считаем корни.

Заметим сначала, что найденные корни никогда не совпадают: случай 2 работает только при a=-\dfrac{1}{2}, а случай 1 — только при a от -\dfrac{1}{3} до 0, и число -\dfrac{1}{2} в этот промежуток не попадает (ведь -0{,}5 левее, чем -0{,}333\ldots).

При a=-\dfrac{1}{2} работает только случай 2 и даёт один корень x=1 — подходит.

При -\dfrac{1}{3}\le a\le 0 работает только случай 1 и даёт один корень x=a+1 — подходит.

При всех остальных a не работает ни один случай, корней на отрезке нет — не подходит.

Шаг 6. Собираем ответ: отдельная точка a=-\dfrac{1}{2} и весь отрезок от -\dfrac{1}{3} до 0 вместе с концами.

Проверим себя на краю. Возьмём a=-\dfrac{1}{3}, тогда корень равен x=a+1=\dfrac{2}{3}. Подкоренное выражение: \dfrac{2}{3}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0, корень из нуля существует и равен нулю. Логарифм: \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1, и \ln 1=0. Слева получается 0\cdot 0=0, справа \left(\dfrac{2}{3}-1\right)\cdot 0=0 — равенство верное. Корень настоящий, и он единственный. Сходится.

А при a=0 корень равен x=1; тогда слева \sqrt{1}\cdot\ln 1=1\cdot 0=0, справа (1-1)\cdot\ln 1=0 — тоже верно.