Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042214

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Уравнение равносильно системе: числитель равен нулю и $x^{2}+a^{2}-9\gt 0$ (корень в знаменателе должен существовать и не обращаться в ноль).

Шаг 1. Раскладываем числитель группировкой. Заметим, что $-3a^{3}+75a=-3a\left(a^{2}-25\right)$:

$$4x^{3}-3ax^{2}+4\left(a^{2}-25\right)x-3a\left(a^{2}-25\right)=x^{2}(4x-3a)+\left(a^{2}-25\right)(4x-3a)=(4x-3a)\left(x^{2}+a^{2}-25\right).$$

Шаг 2. Кандидаты.

— $x=\dfrac{3a}{4}$. Он допустим, если $\dfrac{9a^{2}}{16}+a^{2}\gt 9$, то есть $\dfrac{25a^{2}}{16}\gt 9$, $a^{2}\gt\dfrac{144}{25}$, $|a|\gt\dfrac{12}{5}=2{,}4$.

— Корни уравнения $x^{2}=25-a^{2}$. Для них $x^{2}+a^{2}=25\gt 9$, так что ограничение выполнено автоматически. При $|a|\lt 5$ это два корня $x=\pm\sqrt{25-a^{2}}$, при $|a|=5$ — один корень $x=0$, при $|a|\gt 5$ корней нет.

Шаг 3. Совпадение кандидатов: $\dfrac{3a}{4}=\pm\sqrt{25-a^{2}}$ возможно, только если $\dfrac{9a^{2}}{16}=25-a^{2}$, то есть $\dfrac{25a^{2}}{16}=25$, $a^{2}=16$, $a=\pm 4$. Тогда $\dfrac{3a}{4}=\pm 3$, и это действительно один из корней $\pm\sqrt{25-16}=\pm 3$.

Шаг 4. Если одновременно заменить $x$ на $-x$ и $a$ на $-a$, числитель лишь меняет знак, а знаменатель не меняется. Поэтому при $a$ и $-a$ число корней одинаково, и достаточно разобрать $a\ge 0$.

— $0\le a\le 2{,}4$: кандидат $\dfrac{3a}{4}$ недопустим, корни $\pm\sqrt{25-a^{2}}$ — два;

— $2{,}4\lt a\lt 5$, $a\ne 4$: три различных корня;

— $a=4$: корни $3$ и $-3$ (кандидат $\dfrac{3a}{4}=3$ совпал с одним из них) — два;

— $a=5$: корни $x=0$ и $x=\dfrac{15}{4}$ (он допустим, так как $5\gt 2{,}4$) — два;

— $a\gt 5$: только $x=\dfrac{3a}{4}$ — один корень.

С учётом симметрии получаем: $-2{,}4\le a\le 2{,}4$, $a=\pm 4$, $a=\pm 5$.

Проверим себя на границе $a=2{,}4$: кандидат $x=\dfrac{9}{5}$ даёт $x^{2}+a^{2}-9=\dfrac{81}{25}+\dfrac{144}{25}-9=0$ — знаменатель обнуляется, кандидат выпадает, корней два, граница входит. При $a=3$ кандидат $x=\dfrac{9}{4}$ допустим ($\dfrac{81}{16}+9-9\gt 0$), и вместе с $\pm 4$ корней три.