Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043822

Здесь корень — это половина окружности, а правая часть — «уголок», форма которого зависит от $a$. Число корней уравнения — это число общих точек дуги и уголка.

Шаг 1. Перенесём $2a$ вправо: $\sqrt{18+3x-x^2}=a(|x|+2)+1$.

Левая часть — верхняя полуокружность: $18+3x-x^2=20{,}25-(x-1{,}5)^2$, центр $(1{,}5;0)$, радиус $4{,}5$, $x\in[-3;6]$, в точке $x=0$ значение $\sqrt{18}=3\sqrt2$.

Правая часть — уголок $g(x)$ с вершиной $(0;2a+1)$. Его правая ветвь $y=a(x+2)+1$ лежит на прямой, проходящей при любом $a$ через $(-2;1)$; левая ветвь $y=a(2-x)+1$ — на прямой через $(2;1)$.

Дуга $s(x)$ выпукла вверх, поэтому на любом отрезке, где $s-g$ (тоже выпуклая вверх) неотрицательна на концах, корней внутри нет, а при смене знака корень ровно один.

Шаг 2. $a=0$: $g=1$, горизонталь пересекает полуокружность дважды — два корня.

Шаг 3. $a\gt0$ (уголок смотрит вверх). На концах дуги $s=0$, а $g(6)=8a+1\gt0$, $g(-3)=5a+1\gt0$ — там $s-g\lt0$.

— Если вершина ниже дуги, $2a+1\lt3\sqrt2$: на каждой ветви $s-g$ положительна в $0$ и отрицательна на конце — по одному корню, всего два.

— Если $2a+1=3\sqrt2$, то есть $a=\dfrac{3\sqrt2-1}{2}$: корень $x=0$; на каждой ветви $s-g$ в нуле равна $0$, а на конце отрицательна. Убедимся, что других нулей нет: наклон правой ветви $a\approx1{,}62$ больше наклона дуги в нуле $\dfrac{3}{2\sqrt{18}}\approx0{,}35$, так что сразу справа от нуля $s-g\lt0$; выпуклая вверх функция, ставшая отрицательной, больше не вернётся к нулю на этом отрезке. Слева аналогично (ветвь убывает влево быстрее дуги). Один корень.

— Если $2a+1\gt3\sqrt2$: $s-g\lt0$ в нуле и на концах; ветви растут от вершины быстрее, чем дуга, — корней нет.

Шаг 4. $a\lt0$ (уголок смотрит вниз, вершина $2a+1\lt1\lt3\sqrt2$ — ниже дуги).

— Правая ветвь на $[0;6]$: $s-g\gt0$ в нуле, на конце $s-g=-(8a+1)$. Корень (ровно один) есть при $8a+1\ge0$, то есть $a\ge-\dfrac18$.

— Левая ветвь на $[-3;0]$: $s-g=-(5a+1)$ на конце. Корень есть при $a\ge-\dfrac15$.

Итого при $a\lt0$: $-\dfrac18\le a\lt0$ — два корня; $-\dfrac15\le a\lt-\dfrac18$ — один; $a\lt-\dfrac15$ — ни одного.

Итак, ровно один корень при $-\dfrac15\le a\lt-\dfrac18$ или $a=\dfrac{3\sqrt2-1}{2}$.

Проверим $a=-\dfrac16$: правая ветвь $y=-\dfrac{x+2}{6}+1$ при $x=6$ равна $-\dfrac13\lt0$ — правее корня нет; левая при $x=-3$ равна $\dfrac16\gt0=s(-3)$ — корень есть. Ровно один.