Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00043821

Шаг 1. Перепишем уравнение: $\sqrt{8-2x-x^2}=a(|x|-1)-2$.

Левая часть — верхняя полуокружность: $8-2x-x^2=9-(x+1)^2$, центр $(-1;0)$, радиус $3$, $x\in[-4;2]$. Правая часть — «уголок» $g(x)=a(|x|-1)-2$ с вершиной $(0;-a-2)$; при любом $a$ он проходит через точки $(\pm1;-2)$.

Полуокружность $s(x)$ выпукла вверх: если на концах отрезка она выше прямой, то она выше прямой и внутри отрезка (разность «дуга минус прямая» — выпуклая вверх функция).

Шаг 2. $a=0$: $g=-2\lt0$ — корней нет.

Шаг 3. $a\gt0$ (уголок смотрит вверх).

Правая ветвь $y=a(x-1)-2$ на $[0;2]$. При $x=0$: $-a-2\lt s(0)$. При $x=2$: $a-2$ против $s(2)=0$. Если $a\lt2$, разность $s-g$ положительна на обоих концах, а значит, и на всём отрезке — корней нет. Если $a\ge2$, разность меняет знак (или равна нулю при $x=2$) — ровно один корень (функция $s-g$ выпукла вверх, положительна в $0$ и неположительна в $2$).

Левая ветвь $y=-a(x+1)-2$ на $[-4;0]$. При $x=0$ ниже дуги. При $x=-4$: $3a-2$ против $s(-4)=0$. Если $a\ge\dfrac23$ — ровно один корень; если $a\lt\dfrac23$ — ни одного.

Итого при $a\gt0$: $0\lt a\lt\dfrac23$ — $0$ корней; $\dfrac23\le a\lt2$ — $1$; $a\ge2$ — $2$ (при $a=2$ это $x=2$ и корень на левой ветви).

Шаг 4. $a\lt0$ (уголок смотрит вниз, вершина $(0;|a|-2)$).

На каждой ветви $g$ отрицательна на концах дуги ($g(-4)=3a-2\lt0$, $g(2)=a-2\lt0$). В вершине сравниваем $|a|-2$ с $s(0)=\sqrt8=2\sqrt2$.

— Если $|a|-2\lt2\sqrt2$: на каждой ветви $s-g$ положительна в вершине и на конце дуги — корней нет.

— Если $|a|-2=2\sqrt2$: вершина лежит на дуге, корень $x=0$; на каждой ветви $s-g$ в вершине равна нулю, на конце положительна, и других нулей у выпуклой вверх функции нет — ровно один корень.

— Если $|a|-2\gt2\sqrt2$: на каждой ветви по одному корню — два.

Ровно один корень при $a=-2-2\sqrt2$.

Итого: $a=-2-2\sqrt2$ или $\dfrac23\le a\lt2$.

Проверим $a=1$: правая ветвь $y=x-3$ на $[0;2]$ отрицательна — корней нет; левая: $\sqrt{8-2x-x^2}=-x-3$, $x\le-3$, $8-2x-x^2=x^2+6x+9$, $2x^2+8x+1=0$, $x=-2-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\approx-3{,}87$ — подходит. Один корень.