Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042207

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Уравнение вида $\sqrt{A}=B$ равносильно системе $A=B^{2}$, $B\ge 0$: если правая часть неотрицательна и квадраты равны, то подкоренное выражение равно $B^{2}$ и потому тоже неотрицательно.

Шаг 1. Возводим правую часть в квадрат:

$$\left(3x^{2}-5x+a\right)^{2}=9x^{4}-30x^{3}+25x^{2}+6ax^{2}-10ax+a^{2}.$$

Подкоренное выражение после раскрытия скобок: $9x^{4}-25x^{3}+15x^{2}+ax^{2}+a^{2}$.

Шаг 2. Вычитаем подкоренное выражение из квадрата правой части. Слагаемые $9x^{4}$ и $a^{2}$ взаимно уничтожаются, остаётся:

$$-5x^{3}+(10+5a)x^{2}-10ax=-5x\left(x^{2}-(a+2)x+2a\right)=-5x(x-2)(x-a).$$

Трёхчлен $x^{2}-(a+2)x+2a$ имеет корни $2$ и $a$ по теореме Виета: их сумма $a+2$, произведение $2a$.

Значит, кандидаты в корни: $x=0$, $x=2$, $x=a$. Каждый из них — корень исходного уравнения, только если в нём выполнено условие $3x^{2}-5x+a\ge 0$.

Шаг 3. Проверяем условие для каждого кандидата:

— $x=0$: $a\ge 0$;

— $x=2$: $12-10+a\ge 0$, то есть $a\ge -2$;

— $x=a$: $3a^{2}-5a+a=3a^{2}-4a=a(3a-4)\ge 0$, то есть $a\le 0$ или $a\ge\dfrac{4}{3}$.

Шаг 4. Три различных корня бывают, только если подходят все три кандидата и они различны. Все три условия одновременно дают $a=0$ или $a\ge\dfrac{4}{3}$. Кандидаты различны при $a\ne 0$ (иначе совпадают $0$ и $a$) и $a\ne 2$ (иначе совпадают $2$ и $a$).

Получаем $\dfrac{4}{3}\le a\lt 2$ или $a\gt 2$. Граница $a=\dfrac{4}{3}$ входит: в точке $x=\dfrac{4}{3}$ правая часть равна нулю, и равенство $\sqrt{0}=0$ верно.

Проверим себя при $a=3$: кандидаты $0$, $2$, $3$; правая часть $3x^{2}-5x+3$ равна в них $3$, $5$, $15$ — все неотрицательны, корней три. А при $a=1$ кандидат $x=1$ даёт $3-5+1=-1\lt 0$ — корней только два.