Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028822

Слева и справа стоят квадратные корни. Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр, «настройка» уравнения. Нужно поймать те настройки, при которых на отрезке от $0$ до $1$ корень ровно один.

Метод назову словами: возведение в квадрат с обязательным контролем области определения. Когда два арифметических квадратных корня равны, равны и подкоренные выражения — это законный переход. Но корень существует только у неотрицательного числа, поэтому к равенству подкоренных выражений надо добавить условие неотрицательности. Именно это условие и будет «фильтром», который отбраковывает лишние корни. Графический метод здесь не нужен: после возведения в квадрат получается обычное квадратное уравнение, которое решается формулой.

Шаг 1. Переходим к системе. Равенство корней равносильно системе: подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно (тогда второе неотрицательно автоматически, ведь они равны). Возьмём для удобства левое:

$$x^{2}-a^{2}=4x^{2}-(4a+2)x+2a,\qquad x^{2}-a^{2}\ge 0.$$

Шаг 2. Решаем уравнение. Переносим всё в правую сторону, чтобы старший коэффициент был положительным:

$$4x^{2}-x^{2}-(4a+2)x+2a+a^{2}=0,\quad\text{то есть}\quad 3x^{2}-(4a+2)x+a^{2}+2a=0.$$

Это обычное квадратное уравнение относительно $x$. Найдём дискриминант — число, которое показывает, сколько у уравнения корней:

$$D=(4a+2)^{2}-4\cdot 3\cdot (a^{2}+2a)=16a^{2}+16a+4-12a^{2}-24a=4a^{2}-8a+4.$$

Заметим, что $4a^{2}-8a+4=4\left(a^{2}-2a+1\right)=4(a-1)^{2}$ — это полный квадрат. Значит, $\sqrt{D}=2|a-1|$, и корни находятся красиво:

$$x=\dfrac{(4a+2)\pm 2|a-1|}{6}=\dfrac{(2a+1)\pm|a-1|}{3}.$$

Раскроем модуль. Если $a\ge 1$, то $|a-1|=a-1$ и корни равны $\dfrac{2a+1+a-1}{3}=a$ и $\dfrac{2a+1-a+1}{3}=\dfrac{a+2}{3}$. Если же $a\lt 1$, то $|a-1|=1-a$ и корни равны $\dfrac{2a+1-1+a}{3}=a$ и $\dfrac{2a+1+1-a}{3}=\dfrac{a+2}{3}$ — тот же самый набор.

Итак, кандидатов ровно два: $x=a$ и $x=\dfrac{a+2}{3}$.

Шаг 3. Пропускаем кандидатов через фильтр $x^{2}-a^{2}\ge 0$.

Кандидат $x=a$. Подставляем: $a^{2}-a^{2}=0\ge 0$ — условие выполнено при любом $a$. Проверим и правую часть: $4a^{2}-(4a+2)a+2a=4a^{2}-4a^{2}-2a+2a=0$. Обе части равны нулю, так что это настоящий корень всегда.

Кандидат $x=\dfrac{a+2}{3}$. Подставляем в фильтр: $\left(\dfrac{a+2}{3}\right)^{2}\ge a^{2}$, то есть $(a+2)^{2}\ge 9a^{2}$. Переносим всё влево и раскладываем разность квадратов: $(a+2)^{2}-(3a)^{2}=(a+2-3a)(a+2+3a)=(2-2a)(4a+2)$. Условие принимает вид $(2-2a)(4a+2)\ge 0$, то есть после вынесения положительных множителей $8(1-a)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\ge 0$.

Произведение неотрицательно, когда $a$ лежит между корнями $-\dfrac{1}{2}$ и $1$ включительно (у выражения $(1-a)$ старший коэффициент отрицателен, так что «плюс» получается именно внутри). Итог: этот кандидат годится при $-\dfrac{1}{2}\le a\le 1$.

Шаг 4. Требуем попадания на отрезок $[0;1]$.

Для $x=a$ это просто $0\le a\le 1$.

Для $x=\dfrac{a+2}{3}$ это $0\le \dfrac{a+2}{3}\le 1$, то есть $0\le a+2\le 3$, то есть $-2\le a\le 1$. Вместе с фильтром из шага 3 остаётся $-\dfrac{1}{2}\le a\le 1$.

Шаг 5. Не забываем случай слияния. Кандидаты совпадают, когда $a=\dfrac{a+2}{3}$, то есть $3a=a+2$, откуда $a=1$. При этом значении корень на самом деле один, хотя формально мы нашли «два».

Шаг 6. Считаем корни на каждом участке.

Случай 1 — когда $a\lt -\dfrac{1}{2}$. Первый кандидат не попадает на отрезок (нужно $a\ge 0$), второй не проходит фильтр. Корней нет — не подходит.

Случай 2 — когда $-\dfrac{1}{2}\le a\lt 0$. Первый кандидат отрицателен и на отрезок не попадает, второй проходит и фильтр, и отрезок. Ровно один корень — подходит.

Случай 3 — когда $0\le a\lt 1$. Работают оба кандидата, и они различны. Два корня — не подходит.

Случай 4 — когда $a=1$. Оба кандидата равны единице, то есть корень один. Подходит.

Случай 5 — когда $a\gt 1$. Первый кандидат больше единицы и вылетает за отрезок, второй не проходит фильтр. Корней нет — не подходит.

Шаг 7. Собираем ответ: $-\dfrac{1}{2}\le a\lt 0$ и отдельная точка $a=1$.

Проверим себя при $a=-\dfrac{1}{2}$. Тогда второй кандидат равен $\dfrac{-\frac{1}{2}+2}{3}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$. Слева под корнем: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$. Справа под корнем: $4\cdot\dfrac{1}{4}-\left(4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2\right)\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1-0-1=0$. Обе части равны нулю — корень настоящий, и он единственный на отрезке. Сходится.