Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение корень…

Слева и справа стоят квадратные корни. Неизвестное здесь x, а a — параметр, «настройка» уравнения. Нужно поймать те настройки, при которых на отрезке от 0 до 1 корень ровно один.

Метод назову словами: возведение в квадрат с обязательным контролем области определения. Когда два арифметических квадратных корня равны, равны и подкоренные выражения — это законный переход. Но корень существует только у неотрицательного числа, поэтому к равенству подкоренных выражений надо добавить условие неотрицательности. Именно это условие и будет «фильтром», который отбраковывает лишние корни. Графический метод здесь не нужен: после возведения в квадрат получается обычное квадратное уравнение, которое решается формулой.

Шаг 1. Переходим к системе. Равенство корней равносильно системе: подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно (тогда второе неотрицательно автоматически, ведь они равны). Возьмём для удобства левое:

x^{2}-a^{2}=4x^{2}-(4a+2)x+2a,\qquad x^{2}-a^{2}\ge 0.

Шаг 2. Решаем уравнение. Переносим всё в правую сторону, чтобы старший коэффициент был положительным:

4x^{2}-x^{2}-(4a+2)x+2a+a^{2}=0,\quad\text{то есть}\quad 3x^{2}-(4a+2)x+a^{2}+2a=0.

Это обычное квадратное уравнение относительно x. Найдём дискриминант — число, которое показывает, сколько у уравнения корней:

D=(4a+2)^{2}-4\cdot 3\cdot (a^{2}+2a)=16a^{2}+16a+4-12a^{2}-24a=4a^{2}-8a+4.

Заметим, что 4a^{2}-8a+4=4\left(a^{2}-2a+1\right)=4(a-1)^{2} — это полный квадрат. Значит, \sqrt{D}=2|a-1|, и корни находятся красиво:

x=\dfrac{(4a+2)\pm 2|a-1|}{6}=\dfrac{(2a+1)\pm|a-1|}{3}.

Раскроем модуль. Если a\ge 1, то |a-1|=a-1 и корни равны \dfrac{2a+1+a-1}{3}=a и \dfrac{2a+1-a+1}{3}=\dfrac{a+2}{3}. Если же a\lt 1, то |a-1|=1-a и корни равны \dfrac{2a+1-1+a}{3}=a и \dfrac{2a+1+1-a}{3}=\dfrac{a+2}{3} — тот же самый набор.

Итак, кандидатов ровно два: x=a и x=\dfrac{a+2}{3}.

Шаг 3. Пропускаем кандидатов через фильтр x^{2}-a^{2}\ge 0.

Кандидат x=a. Подставляем: a^{2}-a^{2}=0\ge 0 — условие выполнено при любом a. Проверим и правую часть: 4a^{2}-(4a+2)a+2a=4a^{2}-4a^{2}-2a+2a=0. Обе части равны нулю, так что это настоящий корень всегда.

Кандидат x=\dfrac{a+2}{3}. Подставляем в фильтр: \left(\dfrac{a+2}{3}\right)^{2}\ge a^{2}, то есть (a+2)^{2}\ge 9a^{2}. Переносим всё влево и раскладываем разность квадратов: (a+2)^{2}-(3a)^{2}=(a+2-3a)(a+2+3a)=(2-2a)(4a+2). Условие принимает вид (2-2a)(4a+2)\ge 0, то есть после вынесения положительных множителей 8(1-a)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\ge 0.

Произведение неотрицательно, когда a лежит между корнями -\dfrac{1}{2} и 1 включительно (у выражения (1-a) старший коэффициент отрицателен, так что «плюс» получается именно внутри). Итог: этот кандидат годится при -\dfrac{1}{2}\le a\le 1.

Шаг 4. Требуем попадания на отрезок [0;1].

Для x=a это просто 0\le a\le 1.

Для x=\dfrac{a+2}{3} это 0\le \dfrac{a+2}{3}\le 1, то есть 0\le a+2\le 3, то есть -2\le a\le 1. Вместе с фильтром из шага 3 остаётся -\dfrac{1}{2}\le a\le 1.

Шаг 5. Не забываем случай слияния. Кандидаты совпадают, когда a=\dfrac{a+2}{3}, то есть 3a=a+2, откуда a=1. При этом значении корень на самом деле один, хотя формально мы нашли «два».

Шаг 6. Считаем корни на каждом участке.

Случай 1 — когда a\lt -\dfrac{1}{2}. Первый кандидат не попадает на отрезок (нужно a\ge 0), второй не проходит фильтр. Корней нет — не подходит.

Случай 2 — когда -\dfrac{1}{2}\le a\lt 0. Первый кандидат отрицателен и на отрезок не попадает, второй проходит и фильтр, и отрезок. Ровно один корень — подходит.

Случай 3 — когда 0\le a\lt 1. Работают оба кандидата, и они различны. Два корня — не подходит.

Случай 4 — когда a=1. Оба кандидата равны единице, то есть корень один. Подходит.

Случай 5 — когда a\gt 1. Первый кандидат больше единицы и вылетает за отрезок, второй не проходит фильтр. Корней нет — не подходит.

Шаг 7. Собираем ответ: -\dfrac{1}{2}\le a\lt 0 и отдельная точка a=1.

Проверим себя при a=-\dfrac{1}{2}. Тогда второй кандидат равен \dfrac{-\frac{1}{2}+2}{3}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}. Слева под корнем: \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0. Справа под корнем: 4\cdot\dfrac{1}{4}-\left(4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2\right)\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1-0-1=0. Обе части равны нулю — корень настоящий, и он единственный на отрезке. Сходится.