Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042208

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Равенство $\sqrt{A}=B$ выполняется ровно тогда, когда $A=B^{2}$ и $B\ge 0$ (неотрицательность $A=B^{2}$ получается сама собой).

Шаг 1. Находим разность $B^{2}-A$:

$$\left(2x^{2}-3x+a\right)^{2}=4x^{4}-12x^{3}+9x^{2}+4ax^{2}-6ax+a^{2},$$

$$A=4x^{4}-9x^{3}+3x^{2}+ax^{2}+a^{2},$$

$$B^{2}-A=-3x^{3}+(6+3a)x^{2}-6ax=-3x\left(x^{2}-(a+2)x+2a\right)=-3x(x-2)(x-a).$$

Значит, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases}x(x-2)(x-a)=0,\\a\ge 3x-2x^{2}.\end{cases}$$

(Условие $2x^{2}-3x+a\ge 0$ мы переписали так, чтобы $a$ стояло отдельно.)

Шаг 2. Изобразим систему на плоскости $(x;a)$. Первое уравнение задаёт три прямые: $x=0$, $x=2$ и $a=x$. Неравенство задаёт часть плоскости не ниже параболы $a=3x-2x^{2}$ (ветви вниз, проходит через $(0;0)$ и $\left(\dfrac{3}{2};0\right)$, вершина $\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{9}{8}\right)$). Значению параметра соответствует горизонтальная прямая, а корни — абсциссы её общих точек с теми частями трёх прямых, что лежат в разрешённой области.

Шаг 3. Какие части прямых разрешены.

— Прямая $x=0$: условие $a\ge 0$.

— Прямая $x=2$: условие $a\ge 6-8=-2$.

— Прямая $a=x$: подставляем $a=x$ в неравенство: $x\ge 3x-2x^{2}$, то есть $2x^{2}-2x\ge 0$, $x(x-1)\ge 0$: $x\le 0$ или $x\ge 1$. На этой прямой $x=a$, поэтому условие означает $a\le 0$ или $a\ge 1$.

Шаг 4. Горизонталь на высоте $a$ даёт три корня, только если встречает разрешённые части всех трёх прямых и эти точки различны. Все три условия выполняются при $a=0$ или $a\ge 1$. Точки различны, если $a\ne 0$ (иначе прямая $a=x$ пересекает горизонталь в той же точке, что и $x=0$) и $a\ne 2$ (совпадение с прямой $x=2$).

Получаем $1\le a\lt 2$ или $a\gt 2$.

Проверим себя на граничном значении $a=1$: кандидаты $0$, $1$, $2$; правая часть $2x^{2}-3x+1$ равна в них $1$, $0$, $3$. В точке $x=1$ подкоренное выражение $4-6+2=0$, и получается верное равенство $\sqrt{0}=0$. Корней три, значение $a=1$ входит в ответ.