Задание 19 ЕГЭ по математике №00043818

Здесь окружность с центром в начале координат и прямая, которая зависит от $a$. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: число решений системы — это число корней получившегося квадратного уравнения.

Шаг 1. $a=0$. Система $x^2+y^2=0$, $y=0$ — одно решение. Не подходит.

Шаг 2. Подставим $y=a(x-a)$ в первое уравнение:

$$x^2+a^2(x-a)^2=2{,}7|a|\iff(1+a^2)x^2-2a^3x+a^4-2{,}7|a|=0.$$

Каждому корню $x$ отвечает ровно одно $y=a(x-a)$, поэтому число решений системы равно числу различных корней этого квадратного уравнения. Нужно $D\gt0$.

Шаг 3. Средний коэффициент чётный, считаем четверть дискриминанта:

$$\dfrac D4=a^6-(1+a^2)\left(a^4-2{,}7|a|\right)=a^6-a^4-a^6+2{,}7|a|(1+a^2)=-a^4+2{,}7|a|(1+a^2).$$

Условие $\dfrac D4\gt0$ при $a\ne0$ разделим на $|a|$ и обозначим $t=|a|$:

$$t^3\lt2{,}7(1+t^2)\iff t^3-2{,}7t^2-2{,}7\lt0.$$

Шаг 4. Разделим неравенство $t^3\lt2{,}7(1+t^2)$ на $t^2\gt0$: $t\lt2{,}7+\dfrac{2{,}7}{t^2}$. Левая часть растёт, правая убывает, поэтому они сравниваются ровно в одной точке, и неравенство верно левее неё. Эта точка — $t=3$: $2{,}7+\dfrac{2{,}7}{9}=2{,}7+0{,}3=3$. Значит, $t\lt3$, то есть $0\lt|a|\lt3$. Для контроля: $t^3-2{,}7t^2-2{,}7=(t-3)(t^2+0{,}3t+0{,}9)$.

Проверка: при $a=1$ прямая $y=x-1$ и окружность $x^2+y^2=2{,}7$ пересекаются — расстояние $\dfrac1{\sqrt2}\lt\sqrt{2{,}7}$. При $a=3$: $\dfrac D4=-81+8{,}1\cdot10=0$ — касание, одно решение.