Задание 18 ЕГЭ по математике №00022373

Задача — двойник предыдущей, но с логарифмами вместо корней, и вся разница спрячется в одном знаке. Равенство $\log_7(36-y^2)=\log_7(36-a^2x^2)$ требует, чтобы аргументы были равны И СТРОГО положительны. Равенство даёт $y=\pm ax$, а строгая положительность — $|y|<6$ (полоса теперь ОТКРЫТАЯ). Второе уравнение то же: $(x-1)^2+(y-3)^2=10$, и начало координат снова на нём — точка $(0;\,0)$ есть при любом $a$.

Всё устройство точек $P_1$ (на $y=ax$) и $P_2$ (на $y=-ax$) то же, что раньше: каждая прямая через ноль даёт вторую точку окружности $x=\dfrac{2+6k}{1+k^2}$, сливающуюся с нулём при $k=-\dfrac13$. Симметрия $a\to-a$ тоже сохраняется. Меняется лишь условие полосы: теперь строгое. Для $P_1$ она в полосе при $a<3$ (строго!), для $P_2$ — при $a>-3$; слияния с нулём по-прежнему при $a=\pm\dfrac13$, слипание $P_1=P_2=(2;\,0)$ при $a=0$.

Разбор $a\ge0$. При $a=0$: $P_1=P_2=(2;\,0)$ плюс начало — 2, годится. При $03$ тем более $P_1$ вне полосы, остаются начало и $P_2$ — 2, годится.

Значит, для $a\ge0$ подходят $a=0$, $a=\dfrac13$ и $a\ge3$. Отражение даёт $a=-\dfrac13$ и $a\le-3$. Проверка края: при $a=3$ строгое неравенство $|y|<6$ выбрасывает лишнюю точку $P_1$ с $y=6$, поэтому тройку ВКЛЮЧАЕМ — в отличие от задачи с корнями, где $a=3$ выпадал. Всё сходится.

Ответ: $a\in(-\infty;\,-3]\cup\left\{-\dfrac13\right\}\cup\{0\}\cup\left\{\dfrac13\right\}\cup[3;\,+\infty)$.