Задание 19 ЕГЭ по математике №00042215

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Решим задачу на плоскости $(x;a)$: значение параметра — горизонтальная прямая, корни — абсциссы её общих точек с множеством решений.

Шаг 1. Числитель. Так как $4375=7\cdot 625$, то $-7a^{3}+4375a=-7a\left(a^{2}-625\right)$. Группируем:

$$24x^{3}-7ax^{2}+24\left(a^{2}-625\right)x-7a\left(a^{2}-625\right)=x^{2}(24x-7a)+\left(a^{2}-625\right)(24x-7a)=(24x-7a)\left(x^{2}+a^{2}-625\right).$$

Шаг 2. Картинка. Нули числителя — прямая $a=\dfrac{24}{7}x$ и окружность $x^{2}+a^{2}=625$ (центр $(0;0)$, радиус $25$). Знаменатель требует $x^{2}+a^{2}\gt 225$: запрещён круг радиуса $15$ с центром в начале координат вместе с его границей.

Большая окружность целиком лежит вне запрещённого круга, она разрешена вся. Прямая проходит через центр, поэтому внутри круга лежит её отрезок. Для точки прямой $\left(x;\dfrac{24}{7}x\right)$ расстояние до начала координат равно $|x|\sqrt{1+\dfrac{576}{49}}=|x|\cdot\dfrac{25}{7}$. Оно равно $15$ при $|x|=\dfrac{21}{5}$, то есть при $|a|=\dfrac{24}{7}\cdot\dfrac{21}{5}=\dfrac{72}{5}=14{,}4$.

Значит, на прямой разрешены точки с $|a|\gt 14{,}4$.

Шаг 3. Прямая пересекает большую окружность там, где $\dfrac{25}{7}|x|=25$, то есть $|x|=7$: в точках $(7;24)$ и $(-7;-24)$.

Шаг 4. Считаем точки на высоте $a\ge 0$:

— $0\le a\le 14{,}4$: две точки окружности, точка прямой запрещена — два корня;

— $14{,}4\lt a\lt 25$, $a\ne 24$: две точки окружности и точка прямой — три корня;

— $a=24$: точка прямой $(7;24)$ совпадает с точкой окружности — два корня;

— $a=25$: окружность даёт одну точку $(0;25)$, прямая — точку $\left(\dfrac{175}{24};25\right)$ — два корня;

— $a\gt 25$: только точка прямой — один корень.

Замена $(x;a)\to(-x;-a)$ переводит в себя и прямую, и окружность, и запрещённый круг, поэтому при отрицательных $a$ картина зеркальная.

Итого: $-14{,}4\le a\le 14{,}4$, $a=\pm 24$, $a=\pm 25$.

Проверим себя при $a=24$: числитель $(24x-168)\left(x^{2}-49\right)=24(x-7)(x-7)(x+7)$, корни $7$ и $-7$; знаменатель $\sqrt{x^{2}+576-225}$ в них положителен. Корней два.