Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Решение системы — это пара чисел (x;y), подходящая обоим уравнениям сразу. Если смотреть на плоскости, каждое уравнение задаёт свою линию, а решения — это точки, где линии пересекаются. Нам нужно найти те значения параметра a, при которых точек пересечения ровно две.

Метод назову словами: графический, а точнее — приведение обоих уравнений к виду уравнения окружности и сравнение расстояния между центрами с радиусами. Выбираем его потому, что в обеих строчках стоит сумма x^{2}+y^{2}: это верный признак окружностей. А для двух окружностей есть готовое и очень наглядное правило про число общих точек, так что считать почти ничего не придётся.

Шаг 1. Приводим первое уравнение к каноническому виду. Уравнение окружности выглядит как (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}, где (x_{0};y_{0}) — центр, а R — радиус. Перенесём всё влево:

x^{2}-6x+y^{2}-8y+9=0.

Выделим полные квадраты. По x: x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, потому что (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9. По y: y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16, потому что (y-4)^{2}=y^{2}-8y+16. Подставляем:

(x-3)^{2}-9+(y-4)^{2}-16+9=0\ \Rightarrow\ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16.

Это окружность с центром в точке O_{1}(3;4) и радиусом R_{1}=\sqrt{16}=4. Заметьте: параметра здесь нет, эта окружность неподвижна.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением x^{2}+y^{2}=a^{2}.

Случай 1 — когда a=0. Тогда уравнение принимает вид x^{2}+y^{2}=0, а сумма двух квадратов равна нулю, только если оба слагаемых нулевые. Получается единственная точка (0;0). Проверим, лежит ли она на первой окружности: (0-3)^{2}+(0-4)^{2}=9+16=25, а нужно 16. Не лежит, значит решений нет. Это не подходит.

Случай 2 — когда a\ne 0. Тогда это окружность с центром в начале координат O_{2}(0;0) и радиусом R_{2}=|a| (радиус — величина неотрицательная, поэтому именно модуль).

Шаг 3. Считаем расстояние между центрами. По формуле расстояния между точками на плоскости

d=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Шаг 4. Вспомним правило про две окружности. Пусть радиусы равны R_{1} и R_{2}, а расстояние между центрами равно d. Тогда окружности пересекаются ровно в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше их суммы:

|R_{1}-R_{2}|\lt d\lt R_{1}+R_{2}.

Смысл простой. Если d равно сумме радиусов, окружности касаются снаружи — общая точка одна. Если d больше суммы, они вообще не достают друг до друга — общих точек нет. Если d равно разности радиусов, одна окружность касается другой изнутри — снова одна точка. А если d меньше разности, одна лежит целиком внутри другой, не задевая её, — точек нет. Ровно два пересечения бывают только «в середине» этого набора.

Шаг 5. Подставляем наши числа: R_{1}=4, R_{2}=|a|, d=5. Получаем двойное неравенство

\bigl|4-|a|\bigr|\lt 5\lt 4+|a|.

Разберём его по частям.

Правая часть: 5\lt 4+|a|, откуда |a|\gt 1.

Левая часть: \bigl|4-|a|\bigr|\lt 5. Модуль меньше пяти означает, что само число лежит между -5 и 5: -5\lt 4-|a|\lt 5. Вычтем всюду 4: -9\lt -|a|\lt 1. Умножим всё на -1, не забыв перевернуть знаки неравенств: 9\gt |a|\gt -1. Условие |a|\gt -1 выполняется всегда, поэтому остаётся |a|\lt 9.

Шаг 6. Пересекаем: 1\lt |a|\lt 9. Модуль числа лежит между 1 и 9 — значит, само число либо положительно и лежит между 1 и 9, либо отрицательно и лежит между -9 и -1.

Итого: -9\lt a\lt -1 или 1\lt a\lt 9.

Проверим границы. При a=1 радиус второй окружности равен 1, и 4+1=5=d — окружности касаются снаружи, общая точка одна, а нам нужно две. При a=9 имеем |9-4|=5=d — касание изнутри, снова одна точка. Значит, обе границы в ответ не входят, как и должно быть при строгих неравенствах.

Проверим себя в середине. Возьмём a=5: тогда R_{2}=5, сумма радиусов 4+5=9\gt 5, разность |4-5|=1\lt 5. Расстояние 5 действительно зажато между 1 и 9, значит пересечений ровно два. Сходится.