Задание 18 ЕГЭ по математике №00028827

Решение системы — это пара чисел $(x;y)$, подходящая обоим уравнениям сразу. Если смотреть на плоскости, каждое уравнение задаёт свою линию, а решения — это точки, где линии пересекаются. Нам нужно найти те значения параметра $a$, при которых точек пересечения ровно две.

Метод назову словами: графический, а точнее — приведение обоих уравнений к виду уравнения окружности и сравнение расстояния между центрами с радиусами. Выбираем его потому, что в обеих строчках стоит сумма $x^{2}+y^{2}$: это верный признак окружностей. А для двух окружностей есть готовое и очень наглядное правило про число общих точек, так что считать почти ничего не придётся.

Шаг 1. Приводим первое уравнение к каноническому виду. Уравнение окружности выглядит как $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}$, где $(x_{0};y_{0})$ — центр, а $R$ — радиус. Перенесём всё влево:

$$x^{2}-6x+y^{2}-8y+9=0.$$

Выделим полные квадраты. По $x$: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$, потому что $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$. По $y$: $y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16$, потому что $(y-4)^{2}=y^{2}-8y+16$. Подставляем:

$$(x-3)^{2}-9+(y-4)^{2}-16+9=0\ \Rightarrow\ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16.$$

Это окружность с центром в точке $O_{1}(3;4)$ и радиусом $R_{1}=\sqrt{16}=4$. Заметьте: параметра здесь нет, эта окружность неподвижна.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Случай 1 — когда $a=0$. Тогда уравнение принимает вид $x^{2}+y^{2}=0$, а сумма двух квадратов равна нулю, только если оба слагаемых нулевые. Получается единственная точка $(0;0)$. Проверим, лежит ли она на первой окружности: $(0-3)^{2}+(0-4)^{2}=9+16=25$, а нужно $16$. Не лежит, значит решений нет. Это не подходит.

Случай 2 — когда $a\ne 0$. Тогда это окружность с центром в начале координат $O_{2}(0;0)$ и радиусом $R_{2}=|a|$ (радиус — величина неотрицательная, поэтому именно модуль).

Шаг 3. Считаем расстояние между центрами. По формуле расстояния между точками на плоскости

$$d=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Шаг 4. Вспомним правило про две окружности. Пусть радиусы равны $R_{1}$ и $R_{2}$, а расстояние между центрами равно $d$. Тогда окружности пересекаются ровно в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше их суммы:

$$|R_{1}-R_{2}|\lt d\lt R_{1}+R_{2}.$$

Смысл простой. Если $d$ равно сумме радиусов, окружности касаются снаружи — общая точка одна. Если $d$ больше суммы, они вообще не достают друг до друга — общих точек нет. Если $d$ равно разности радиусов, одна окружность касается другой изнутри — снова одна точка. А если $d$ меньше разности, одна лежит целиком внутри другой, не задевая её, — точек нет. Ровно два пересечения бывают только «в середине» этого набора.

Шаг 5. Подставляем наши числа: $R_{1}=4$, $R_{2}=|a|$, $d=5$. Получаем двойное неравенство

$$\bigl|4-|a|\bigr|\lt 5\lt 4+|a|.$$

Разберём его по частям.

Правая часть: $5\lt 4+|a|$, откуда $|a|\gt 1$.

Левая часть: $\bigl|4-|a|\bigr|\lt 5$. Модуль меньше пяти означает, что само число лежит между $-5$ и $5$: $-5\lt 4-|a|\lt 5$. Вычтем всюду $4$: $-9\lt -|a|\lt 1$. Умножим всё на $-1$, не забыв перевернуть знаки неравенств: $9\gt |a|\gt -1$. Условие $|a|\gt -1$ выполняется всегда, поэтому остаётся $|a|\lt 9$.

Шаг 6. Пересекаем: $1\lt |a|\lt 9$. Модуль числа лежит между $1$ и $9$ — значит, само число либо положительно и лежит между $1$ и $9$, либо отрицательно и лежит между $-9$ и $-1$.

Итого: $-9\lt a\lt -1$ или $1\lt a\lt 9$.

Проверим границы. При $a=1$ радиус второй окружности равен $1$, и $4+1=5=d$ — окружности касаются снаружи, общая точка одна, а нам нужно две. При $a=9$ имеем $|9-4|=5=d$ — касание изнутри, снова одна точка. Значит, обе границы в ответ не входят, как и должно быть при строгих неравенствах.

Проверим себя в середине. Возьмём $a=5$: тогда $R_{2}=5$, сумма радиусов $4+5=9\gt 5$, разность $|4-5|=1\lt 5$. Расстояние $5$ действительно зажато между $1$ и $9$, значит пересечений ровно два. Сходится.