Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Первое уравнение похоже на уравнение окружности, второе — на пару прямых. Значит, выбираем графический метод: изобразим на плоскости неподвижные прямые и окружность, центр которой ездит по плоскости вместе с параметром, и посчитаем точки пересечения. Алгебраический перебор здесь был бы громоздким, а на чертеже всё видно через расстояния от центра до прямых.

Разберёмся со вторым уравнением: y^{2}=x^{2} означает y=x или y=-x. Это две прямые, пересекающиеся в начале координат под прямым углом.

Теперь первое уравнение. Сгруппируем и выделим полные квадраты:

x^{2}-4(a+1)x+y^{2}-2ay+5a^{2}+8a+3=0,

\big(x-2(a+1)\big)^{2}-4(a+1)^{2}+(y-a)^{2}-a^{2}+5a^{2}+8a+3=0.

Посчитаем свободную часть: -4(a^{2}+2a+1)-a^{2}+5a^{2}+8a+3=-4a^{2}-8a-4-a^{2}+5a^{2}+8a+3=-1. Значит,

(x-2a-2)^{2}+(y-a)^{2}=1.

Это окружность радиуса 1 с центром в точке C(2a+2;\,a) — при изменении a центр едет по прямой.

Каждая прямая пересекает окружность в двух точках, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Всего точек четыре — но только если ни одна точка не «считается дважды».

Случай 1 — расстояние до прямой y=x, то есть до x-y=0. По формуле расстояния оно равно \dfrac{|2a+2-a|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|a+2|}{\sqrt{2}}. Требуем \dfrac{|a+2|}{\sqrt{2}}\lt 1, то есть |a+2|\lt \sqrt{2} и -2-\sqrt{2}\lt a\lt -2+\sqrt{2}.

Случай 2 — расстояние до прямой y=-x, то есть до x+y=0: оно равно \dfrac{|2a+2+a|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|3a+2|}{\sqrt{2}}. Требуем |3a+2|\lt \sqrt{2}, откуда -\dfrac{2+\sqrt{2}}{3}\lt a\lt \dfrac{-2+\sqrt{2}}{3}.

Пересечём промежутки. Первый примерно (-3{,}41;-0{,}59), второй примерно (-1{,}14;-0{,}20). Общая часть — от -\dfrac{2+\sqrt{2}}{3} до \sqrt{2}-2.

Случай 3 — опасное совпадение. Прямые пересекаются в начале координат; если окружность проходит через эту точку, то она принадлежит обеим прямым сразу и даёт не два разных решения, а одно. Тогда различных точек будет три, а не четыре.

Подставим (0;0) в первое уравнение: 5a^{2}+8a+3=0. Дискриминант равен 64-60=4, корни a=\dfrac{-8\pm 2}{10}, то есть a=-\dfrac35 и a=-1. Оба значения лежат внутри найденного промежутка, поэтому их надо выколоть.