Задание 18 ЕГЭ по математике №00028810

Первое уравнение похоже на уравнение окружности, второе — на пару прямых. Значит, выбираем графический метод: изобразим на плоскости неподвижные прямые и окружность, центр которой ездит по плоскости вместе с параметром, и посчитаем точки пересечения. Алгебраический перебор здесь был бы громоздким, а на чертеже всё видно через расстояния от центра до прямых.

Разберёмся со вторым уравнением: $y^{2}=x^{2}$ означает $y=x$ или $y=-x$. Это две прямые, пересекающиеся в начале координат под прямым углом.

Теперь первое уравнение. Сгруппируем и выделим полные квадраты:

$$x^{2}-4(a+1)x+y^{2}-2ay+5a^{2}+8a+3=0,$$

$$\big(x-2(a+1)\big)^{2}-4(a+1)^{2}+(y-a)^{2}-a^{2}+5a^{2}+8a+3=0.$$

Посчитаем свободную часть: $-4(a^{2}+2a+1)-a^{2}+5a^{2}+8a+3=-4a^{2}-8a-4-a^{2}+5a^{2}+8a+3=-1$. Значит,

$$(x-2a-2)^{2}+(y-a)^{2}=1.$$

Это окружность радиуса $1$ с центром в точке $C(2a+2;\,a)$ — при изменении $a$ центр едет по прямой.

Каждая прямая пересекает окружность в двух точках, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Всего точек четыре — но только если ни одна точка не «считается дважды».

Случай 1 — расстояние до прямой $y=x$, то есть до $x-y=0$. По формуле расстояния оно равно $\dfrac{|2a+2-a|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|a+2|}{\sqrt{2}}$. Требуем $\dfrac{|a+2|}{\sqrt{2}}\lt 1$, то есть $|a+2|\lt \sqrt{2}$ и $-2-\sqrt{2}\lt a\lt -2+\sqrt{2}$.

Случай 2 — расстояние до прямой $y=-x$, то есть до $x+y=0$: оно равно $\dfrac{|2a+2+a|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|3a+2|}{\sqrt{2}}$. Требуем $|3a+2|\lt \sqrt{2}$, откуда $-\dfrac{2+\sqrt{2}}{3}\lt a\lt \dfrac{-2+\sqrt{2}}{3}$.

Пересечём промежутки. Первый примерно $(-3{,}41;-0{,}59)$, второй примерно $(-1{,}14;-0{,}20)$. Общая часть — от $-\dfrac{2+\sqrt{2}}{3}$ до $\sqrt{2}-2$.

Случай 3 — опасное совпадение. Прямые пересекаются в начале координат; если окружность проходит через эту точку, то она принадлежит обеим прямым сразу и даёт не два разных решения, а одно. Тогда различных точек будет три, а не четыре.

Подставим $(0;0)$ в первое уравнение: $5a^{2}+8a+3=0$. Дискриминант равен $64-60=4$, корни $a=\dfrac{-8\pm 2}{10}$, то есть $a=-\dfrac35$ и $a=-1$. Оба значения лежат внутри найденного промежутка, поэтому их надо выколоть.