Главная хитрость — симметрия по x. И первое уравнение (в нём x входит только как |x| и x^2), и окружность x^2+y^2=1 не меняются при замене x\to-x. Значит, если (x_0;y_0) — решение и x_0\ne0, то (-x_0;y_0) — тоже решение, причём другое. Решения ходят парами. Чтобы решение было единственным, обязано быть x=0.

При x=0 из окружности y=\pm1. Подставим x=0 в первое уравнение: 2^{3}+0+1=8y+0+a, то есть 9=8y+a. Для y=1 получаем a=1, для y=-1 получаем a=17. Других кандидатов нет.

Проверяем a=17. Точка (0;-1) — решение, но заодно годятся и (1;0), и (-1;0): подставим (1;0) — слева 2^{4}+7+1=24, справа 8\cdot0+7\cdot1+17=24, верно. Значит, при a=17 решений несколько — не подходит.

Проверяем a=1. Уравнение принимает вид 2^{|x|+3}+7|x|=8y+7x^2. Обозначим s=|x|; на окружности s\in[0;1], x^2=s^2 и y\le1. Перепишем как 2^{s+3}+7s-7s^2\ge8y и покажем, что левая часть всегда не меньше правой. Во-первых, 2^{s+3}\ge2^{3}=8 (показатель \ge3). Во-вторых, 7s-7s^2=7s(1-s)\ge0 при s\in[0;1]. Значит, левая часть \ge8. А правая 8y\le8, ведь y\le1. Получаем 2^{s+3}+7s-7s^2\ge8\ge8y, поэтому равенство в исходном уравнении возможно лишь когда всё становится равенствами разом: s=0 (тогда 2^{s+3}=8 и 7s(1-s)=0) и y=1. Это единственная точка (0;1).

Итак, подходит только a=1 — при нём система имеет ровно одно решение (0;1).

Ответ: a=1.