ID: 00022377
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $\begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a, \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$ имеет единственное решение.
Источник: ФИПИ
Главная хитрость — симметрия по $x$. И первое уравнение (в нём $x$ входит только как $|x|$ и $x^2$), и окружность $x^2+y^2=1$ не меняются при замене $x\to-x$. Значит, если $(x_0;y_0)$ — решение и $x_0\ne0$, то $(-x_0;y_0)$ — тоже решение, причём другое. Решения ходят парами. Чтобы решение было единственным, обязано быть $x=0$.
При $x=0$ из окружности $y=\pm1$. Подставим $x=0$ в первое уравнение: $2^{3}+0+1=8y+0+a$, то есть $9=8y+a$. Для $y=1$ получаем $a=1$, для $y=-1$ получаем $a=17$. Других кандидатов нет.
Проверяем $a=17$. Точка $(0;-1)$ — решение, но заодно годятся и $(1;0)$, и $(-1;0)$: подставим $(1;0)$ — слева $2^{4}+7+1=24$, справа $8\cdot0+7\cdot1+17=24$, верно. Значит, при $a=17$ решений несколько — не подходит.
Проверяем $a=1$. Уравнение принимает вид $2^{|x|+3}+7|x|=8y+7x^2$. Обозначим $s=|x|$; на окружности $s\in[0;1]$, $x^2=s^2$ и $y\le1$. Перепишем как $2^{s+3}+7s-7s^2\ge8y$ и покажем, что левая часть всегда не меньше правой. Во-первых, $2^{s+3}\ge2^{3}=8$ (показатель $\ge3$). Во-вторых, $7s-7s^2=7s(1-s)\ge0$ при $s\in[0;1]$. Значит, левая часть $\ge8$. А правая $8y\le8$, ведь $y\le1$. Получаем $2^{s+3}+7s-7s^2\ge8\ge8y$, поэтому равенство в исходном уравнении возможно лишь когда всё становится равенствами разом: $s=0$ (тогда $2^{s+3}=8$ и $7s(1-s)=0$) и $y=1$. Это единственная точка $(0;1)$.
Итак, подходит только $a=1$ — при нём система имеет ровно одно решение $(0;1)$.