Задание 18 ЕГЭ по математике №00028831

Решение системы — это пара чисел $(x;y)$, подходящая обоим уравнениям сразу. Обратите внимание на приятную особенность: параметр $a$ сидит только под корнями и никуда фигуры не двигает. Он работает как пропускной пункт — разрешает или запрещает уже найденные точки. Значит, план такой: сначала найти все точки-кандидаты, а потом посмотреть, кого из них параметр пропускает.

Метод назову словами: графический (координатный). Первое уравнение после снятия корней даст пару прямых, второе после сборки полных квадратов — окружность, а решения будут точками их пересечения. Такой путь короче любого перебора: точек окажется всего три, и каждая даст своё простое условие на параметр.

Шаг 1. Снимаем корни. Два арифметических квадратных корня равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны:

$$a-y^{2}=a-x^{2}\qquad\text{и}\qquad a-x^{2}\ge 0.$$

Из первого равенства параметр сокращается, остаётся $x^{2}=y^{2}$. Разложим разность квадратов: $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0$, значит $y=x$ или $y=-x$. Это две прямые — биссектрисы координатных углов.

Второе условие $a-x^{2}\ge 0$, то есть $a\ge x^{2}$, и есть тот самый пропускной пункт. Заметим: раз $x^{2}=y^{2}$, то условие для $y$ получается ровно таким же, отдельно его проверять не нужно. Важно, что неравенство нестрогое — корень из нуля существует.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением. Перенесём всё влево: $x^{2}-2x+y^{2}-4y=0$. Выделим полные квадраты: $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ и $y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4$. Получаем

$$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5.$$

Это окружность с центром $(1;2)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Шаг 3. Ищем точки пересечения прямых с окружностью. Подставлять удобнее в исходную форму $x^{2}+y^{2}=2x+4y$ — там меньше арифметики.

Случай 1 — когда $y=x$. Получаем $x^{2}+x^{2}=2x+4x$, то есть $2x^{2}=6x$, или $2x^{2}-6x=0$, то есть $2x(x-3)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=3$. Так как $y=x$, выходят точки $(0;0)$ и $(3;3)$.

Случай 2 — когда $y=-x$. Получаем $x^{2}+x^{2}=2x+4\cdot(-x)$, то есть $2x^{2}=2x-4x=-2x$, или $2x^{2}+2x=0$, то есть $2x(x+1)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=-1$. Так как $y=-x$, при $x=0$ получается $y=0$, а при $x=-1$ получается $y=1$. Выходят точки $(0;0)$ и $(-1;1)$.

Различных точек-кандидатов три: $(0;0)$, $(3;3)$ и $(-1;1)$. Начало координат встретилось дважды, но считаем его один раз — решения должны быть различными.

Шаг 4. Пропускаем кандидатов через условие $a\ge x^{2}$.

Для $(0;0)$: $a\ge 0^{2}$, то есть $a\ge 0$.

Для $(-1;1)$: $a\ge (-1)^{2}=1$, то есть $a\ge 1$.

Для $(3;3)$: $a\ge 3^{2}=9$, то есть $a\ge 9$.

Шаг 5. Считаем, сколько точек проходит. Расставим пороги $0$, $1$, $9$ на числовой оси.

При $a\lt 0$ не проходит никто: под корнями оказываются отрицательные числа. Решений нет.

При $0\le a\lt 1$ проходит только начало координат. Одно решение — мало.

При $1\le a\lt 9$ проходят начало координат и точка $(-1;1)$, а точка $(3;3)$ ещё нет — для неё нужно $a$ не меньше девяти. Ровно два решения — подходит.

При $a\ge 9$ проходят все три точки. Три решения — много.

Шаг 6. Итак, подходят все значения параметра от $1$ включительно до $9$ не включительно.

Обратите особое внимание на характер границ. Значение $a=1$ входит: там для точки $(-1;1)$ получается $a-x^{2}=1-1=0$, а корень из нуля прекрасно существует, обе части первого уравнения равны нулю. А вот $a=9$ не входит: там точно так же «включается» третья точка $(3;3)$, ведь $9-9=0$ тоже допустимо, и решений становится три.

Проверим себя при $a=5$. Точка $(0;0)$: $5-0=5\ge 0$ — проходит. Точка $(-1;1)$: $5-1=4\ge 0$ — проходит, и обе части первого уравнения равны $\sqrt{4}=2$. Точка $(3;3)$: $5-9=-4\lt 0$ — не проходит. Ровно два решения, всё сходится.