Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Решение системы — это пара чисел (x;y), подходящая обоим уравнениям сразу. Обратите внимание на приятную особенность: параметр a сидит только под корнями и никуда фигуры не двигает. Он работает как пропускной пункт — разрешает или запрещает уже найденные точки. Значит, план такой: сначала найти все точки-кандидаты, а потом посмотреть, кого из них параметр пропускает.

Метод назову словами: графический (координатный). Первое уравнение после снятия корней даст пару прямых, второе после сборки полных квадратов — окружность, а решения будут точками их пересечения. Такой путь короче любого перебора: точек окажется всего три, и каждая даст своё простое условие на параметр.

Шаг 1. Снимаем корни. Два арифметических квадратных корня равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны:

a-y^{2}=a-x^{2}\qquad\text{и}\qquad a-x^{2}\ge 0.

Из первого равенства параметр сокращается, остаётся x^{2}=y^{2}. Разложим разность квадратов: x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0, значит y=x или y=-x. Это две прямые — биссектрисы координатных углов.

Второе условие a-x^{2}\ge 0, то есть a\ge x^{2}, и есть тот самый пропускной пункт. Заметим: раз x^{2}=y^{2}, то условие для y получается ровно таким же, отдельно его проверять не нужно. Важно, что неравенство нестрогое — корень из нуля существует.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением. Перенесём всё влево: x^{2}-2x+y^{2}-4y=0. Выделим полные квадраты: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1 и y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4. Получаем

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5.

Это окружность с центром (1;2) и радиусом \sqrt{5}.

Шаг 3. Ищем точки пересечения прямых с окружностью. Подставлять удобнее в исходную форму x^{2}+y^{2}=2x+4y — там меньше арифметики.

Случай 1 — когда y=x. Получаем x^{2}+x^{2}=2x+4x, то есть 2x^{2}=6x, или 2x^{2}-6x=0, то есть 2x(x-3)=0. Отсюда x=0 или x=3. Так как y=x, выходят точки (0;0) и (3;3).

Случай 2 — когда y=-x. Получаем x^{2}+x^{2}=2x+4\cdot(-x), то есть 2x^{2}=2x-4x=-2x, или 2x^{2}+2x=0, то есть 2x(x+1)=0. Отсюда x=0 или x=-1. Так как y=-x, при x=0 получается y=0, а при x=-1 получается y=1. Выходят точки (0;0) и (-1;1).

Различных точек-кандидатов три: (0;0), (3;3) и (-1;1). Начало координат встретилось дважды, но считаем его один раз — решения должны быть различными.

Шаг 4. Пропускаем кандидатов через условие a\ge x^{2}.

Для (0;0): a\ge 0^{2}, то есть a\ge 0.

Для (-1;1): a\ge (-1)^{2}=1, то есть a\ge 1.

Для (3;3): a\ge 3^{2}=9, то есть a\ge 9.

Шаг 5. Считаем, сколько точек проходит. Расставим пороги 0, 1, 9 на числовой оси.

При a\lt 0 не проходит никто: под корнями оказываются отрицательные числа. Решений нет.

При 0\le a\lt 1 проходит только начало координат. Одно решение — мало.

При 1\le a\lt 9 проходят начало координат и точка (-1;1), а точка (3;3) ещё нет — для неё нужно a не меньше девяти. Ровно два решения — подходит.

При a\ge 9 проходят все три точки. Три решения — много.

Шаг 6. Итак, подходят все значения параметра от 1 включительно до 9 не включительно.

Обратите особое внимание на характер границ. Значение a=1 входит: там для точки (-1;1) получается a-x^{2}=1-1=0, а корень из нуля прекрасно существует, обе части первого уравнения равны нулю. А вот a=9 не входит: там точно так же «включается» третья точка (3;3), ведь 9-9=0 тоже допустимо, и решений становится три.

Проверим себя при a=5. Точка (0;0): 5-0=5\ge 0 — проходит. Точка (-1;1): 5-1=4\ge 0 — проходит, и обе части первого уравнения равны \sqrt{4}=2. Точка (3;3): 5-9=-4\lt 0 — не проходит. Ровно два решения, всё сходится.